Use os testes de comparação para determinar se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty cos (n)^2n^2+1

Passo 1

A série dada é sumn=1^infty cos^2(n)n^2+1. O conteúdo aqui é testes de comparação para séries de termos não-negativos. Vamos usar comparação direta e, para reforçar, também o teste de comparação de limite.

Passo 2

Note que para todo n vale 0 <= cos^2(n) <= 1. Portanto temos
0 <= cos^2(n)n^2+1 <= 1n^2+1 <= 1n^2

Passo 3

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^2 é uma série-p com p=2>1, logo converge. Pelo teste de comparação direta, como cada termo de cos^2(n)n^2+1 é menor ou igual ao termo correspondente de uma série convergente, a série original também converge.

Passo 4

Para reforçar, aplicamos o teste de comparação de limite. Definindo an=cos^2(n)n^2+1 e bn=1n^2, calculamos
limntoinfty anbn = limntoinfty n^2cos^2(n)n^2+1 = 1

Passo 5

Como o limite é um número finito e positivo, a série sum an converge ou diverge junto com sum bn. Já sabemos que sum bn converge, então sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty tfraccos^2(n)n^2+1 converge (convergência absoluta).

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