Determine o comprimento da curva dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer descobrir o comprimento da curva definida por $ \mathbf{r}(t) = 8 t^{3/2} \hat{i} + \left(3 + (8 - t)^{3/2}\right) \hat{j} $, onde $ t $ varia de 0 a 4. Para resolver isso, vamos usar o cálculo do comprimento de curva em geometria analítica, que envolve derivadas e integrais. Basicamente, vamos derivar os componentes da curva, calcular a magnitude dessa derivada e integrar isso no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas das componentes da função $ \mathbf{r}(t) $. Temos:
  • $ x(t) = 8 t^{3/2} $
  • $ y(t) = 3 + (8 - t)^{3/2} $
Derivando em relação a $ t $:
  • $ \frac{dx}{dt} = 8 \times \frac{3}{2} t^{1/2} = 12 t^{1/2} $
  • $ \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left[3 + (8 - t)^{3/2}\right] = 0 + \frac{3}{2} (8 - t)^{1/2} \times (-1) = -\frac{3}{2} (8 - t)^{1/2} $

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude da derivada $ \mathbf{r}’(t) $, que é dada por:
r'(t)
Substituindo as derivadas que encontramos:
|r'(t)| = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2
Simplificando dentro da raiz:
|r'(t)| = raiz(12 t^1/2)^2 + (-32 (8 - t)^1/2)^2 = raiz144 t + 94 (8 - t)

Passo 4

O comprimento da curva é a integral da magnitude da derivada de $ t = 0 $ a $ t = 4 $:
t = 0
Vamos resolver essa integral fazendo uma substituição simples. Seja $ u = 141,75 t + 18 $, então $ du = 141,75 , dt $ ou $ dt = \frac{du}{141,75} $. A integral fica:
t = 4
Calculando os limites:
Comprimento = integral0^4 raiz141,75 t + 18 , dt
Aproximando os valores:
u = 141,75 t + 18
du = 141,75 , dt
Substituindo:
dt = du141,75

Resposta

O comprimento da curva é aproximadamente 66,1 unidades.

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