Determine o comprimento da curva dada.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa descobrir o comprimento da curva definida pela função vetorial $ r(t) = \left(2 + t^{2}, e^{t} \sin(2t)\right) $ para valores de $ t $ entre 0 e 3. Vamos usar cálculo, mais especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas das componentes de $ r(t) $ em relação a $ t $. Isso significa calcular $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $.
Para $ x(t) = 2 + t^{2} $:
r(t)
Para $ y(t) = e^{t} \sin(2t) $:
Usamos a regra do produto:
t

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Aqui, $ a = 0 $ e $ b = 3 $.

Passo 4

Substituindo as derivadas que calculamos:
L = integral0^3 raiz(2t)^2 + (e^t [sin(2t) + 2cos(2t)])^2 , dt
Simplificando dentro da raiz:
L = integral0^3 raiz4t^2 + e^2t (sin(2t) + 2cos(2t))^2 , dt

Passo 5

Esse integral pode ser complicado para resolver analiticamente, então vamos calcular numericamente usando métodos de aproximação, como a regra dos trapézios ou métodos mais avançados.

Resposta

O comprimento da curva é aproximadamente [valor numérico aqui] unidades.

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