Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa descobrir o comprimento da curva definida pela função vetorial $ r(t) = \left(2 + t^{2}, e^{t} \sin(2t)\right) $ para valores de $ t $ entre 0 e 3. Vamos usar cálculo, mais especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas das componentes de $ r(t) $ em relação a $ t $. Isso significa calcular $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $.
Para $ x(t) = 2 + t^{2} $:
Para $ y(t) = e^{t} \sin(2t) $:
Usamos a regra do produto:
Usamos a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada:
Aqui, $ a = 0 $ e $ b = 3 $.
Passo 4
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Esse integral pode ser complicado para resolver analiticamente, então vamos calcular numericamente usando métodos de aproximação, como a regra dos trapézios ou métodos mais avançados.
Resposta
O comprimento da curva é aproximadamente [valor numérico aqui] unidades.