Determine a altura do paralelepípedo delimitado pelos vetores \vec{u}=(2,0,1), \vec{v}=(3,1,-4) e \vec{w}=(-2,1,5) em relação a base delimitada por \vec{v} e \vec{w}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(2,0,1), \vec{v}=(3,1,-4) e \vec{w}=(-2,1,5).
A pergunta é: determinar a altura do paralelepípedo delimitado por \vec{u},\vec{v},\vec{w} em relação à base delimitada por \vec{v} e \vec{w}.
Informações relevantes extraídas do enunciado: as três arestas que saem de um vértice do paralelepípedo são exatamente \vec{u},\vec{v},\vec{w}; a base escolhida é o paralelogramo gerado por \vec{v} e \vec{w}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • O produto vetorial \vec{v}\times\vec{w} é um vetor perpendicular ao plano gerado por \vec{v} e \vec{w}. A magnitude \|\vec{v}\times\vec{w}\| (o comprimento desse vetor) é a área do paralelogramo formado por \vec{v} e \vec{w}. Vou chamar essa área de A_{\text{base}}:
A_{\text{base}}=\|\vec{v}\times\vec{w}\|.
  • O produto escalar entre \vec{u} e \vec{v}\times\vec{w}, isto é \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}), tem interpretação geométrica: o valor absoluto |\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})| é o volume do paralelepípedo determinado por \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Vou chamar esse volume de V:
V=|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})|.
  • A altura h do paralelepípedo em relação à base (o segmento de \vec{u} perpendicular ao plano da base) satisfaz:
V = A_{\text{base}}\cdot h \quad\Longrightarrow\quad h=\frac{V}{A_{\text{base}}}=\frac{|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})|}{\|\vec{v}\times\vec{w}\|}.
Aqui eu expliquei o porquê: volume = área da base × altura. Então para achar h precisamos calcular \vec{v}\times\vec{w} e \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).

Passo 3

Calcular \vec{v}\times\vec{w}. Uso a fórmula componente a componente:
\vec{v}\times\vec{w}=\big(v_2w_3-v_3w_2,\;v_3w_1-v_1w_3,\;v_1w_2-v_2w_1\big).
Substituindo \vec{v}=(3,1,-4) e \vec{w}=(-2,1,5):
\begin{aligned} (\vec{v}\times\vec{w})_1 &= 1\cdot5 - (-4)\cdot1 = 5+4 = 9,\\[4pt] (\vec{v}\times\vec{w})_2 &= (-4)\cdot(-2) - 3\cdot5 = 8-15 = -7,\\[4pt] (\vec{v}\times\vec{w})_3 &= 3\cdot1 - 1\cdot(-2) = 3+2 = 5. \end{aligned}
Portanto
\vec{v}\times\vec{w}=(9,-7,5).]

Passo 4

Calcular a área da base A_{\text{base}}=\|\vec{v}\times\vec{w}\|. A norma de um vetor (a,b,c) é \sqrt{a^2+b^2+c^2}. Então
\|\vec{v}\times\vec{w}\|=\sqrt{9^2+(-7)^2+5^2}=\sqrt{81+49+25}=\sqrt{155}.
Logo A_{\text{base}}=\sqrt{155}.

Passo 5

Calcular o volume V=|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})|. Primeiro o produto escalar:
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = (2,0,1)\cdot(9,-7,5) = 2\cdot9 + 0\cdot(-7) + 1\cdot5 = 18+0+5 = 23.
Tomando o valor absoluto (volume é positivo):
V=|23|=23.

Passo 6

Calcular a altura usando h=\dfrac{V}{A_{\text{base}}}:
h=\frac{23}{\sqrt{155}}.
Se você preferir uma forma sem radical no denominador, racionalizando:
h=\frac{23\sqrt{155}}{155}.
Ambas são equivalentes. Petit dica amiga: memoriza a relação volume = produto escalar entre um vetor e o produto vetorial dos outros dois — isso salva tempo na prova!

Resposta

\dfrac{23}{\sqrt{155}}

Exercícios relacionados