Determine a altura do paralelepípedo delimitado pelos vetores
e
em relação a base delimitada por
e
.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
,
e
.
A pergunta é: determinar a altura do paralelepípedo delimitado por em relação à base delimitada por
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado: as três arestas que saem de um vértice do paralelepípedo são exatamente ; a base escolhida é o paralelogramo gerado por
e
.
A pergunta é: determinar a altura do paralelepípedo delimitado por
Informações relevantes extraídas do enunciado: as três arestas que saem de um vértice do paralelepípedo são exatamente
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- O produto vetorial
é um vetor perpendicular ao plano gerado por e . A magnitude (o comprimento desse vetor) é a área do paralelogramo formado por e . Vou chamar essa área de :
- O produto escalar entre
e , isto é , tem interpretação geométrica: o valor absoluto é o volume do paralelepípedo determinado por . Vou chamar esse volume de :
- A altura
do paralelepípedo em relação à base (o segmento de perpendicular ao plano da base) satisfaz:
Aqui eu expliquei o porquê: volume = área da base × altura. Então para achar
precisamos calcular
e
.
Passo 3
Calcular
. Uso a fórmula componente a componente:
Substituindo
e
:
Portanto
Passo 4
Calcular a área da base
. A norma de um vetor
é
. Então
Logo
.
Passo 5
Calcular o volume
. Primeiro o produto escalar:
Tomando o valor absoluto (volume é positivo):
Passo 6
Calcular a altura usando
:
Se você preferir uma forma sem radical no denominador, racionalizando:
Ambas são equivalentes. Petit dica amiga: memoriza a relação volume = produto escalar entre um vetor e o produto vetorial dos outros dois — isso salva tempo na prova!