Escreva as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto D(1,-3,-1) e é paralela à reta que passa pelos pontos A(3,-1,4) e B(4,-3,-1).

Passo 1

O enunciado pede que escrevamos as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto D(1,-3,-1) e é paralela à reta que passa pelos pontos A(3,-1,4) e B(4,-3,-1).
Informações dadas:
A(3,-1,4),\qquad B(4,-3,-1),\qquad D(1,-3,-1).
O que precisamos fornecer: as equações paramétricas de r, ou seja, expressões para x, y e z em função de um parâmetro (por exemplo t).

Passo 2

Ideia principal (sem resolver ainda): para escrever equações paramétricas de uma reta em \mathbb{R}^3 usamos um ponto por onde a reta passa e um vetor direção da reta.
Fórmula geral: se um ponto é (x_0,y_0,z_0) e o vetor direção é \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então as equações paramétricas da reta são
x = x_0 + t v_1,
y = y_0 + t v_2,
z = z_0 + t v_3,
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro. Aqui t=0 dá o ponto base (x_0,y_0,z_0) e outros valores de t caminham na direção de \vec{v}.

Passo 3

Como a reta r é paralela à reta que passa por A e B, um vetor direção para r pode ser o vetor \vec{AB} (qualquer múltiplo não nulo também serve). Vamos calcular \vec{AB} subtraindo coordenadas de A de B:
\vec{AB} = B - A = (4-3,\; -3 - (-1),\; -1 - 4).
Agora calculamos componente a componente:
4-3 = 1,\qquad -3-(-1) = -3+1 = -2,\qquad -1-4 = -5.

Passo 4

Portanto
\vec{AB} = (1,-2,-5).
Esse vetor é um vetor direção válido para a reta r porque retas paralelas têm vetores direção proporcionais. Podemos então escolher \vec{v}=(1,-2,-5) como vetor direção de r.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula geral usando o ponto D(1,-3,-1) como ponto base (x_0,y_0,z_0) e \vec{v}=(1,-2,-5) como vetor direção. Substituindo em cada fórmula obtemos:
x = 1 + t\cdot 1 = 1 + t,
y = -3 + t\cdot (-2) = -3 - 2t,
z = -1 + t\cdot (-5) = -1 - 5t,
com t\in\mathbb{R}.

Passo 6

Verificações rápidas para ganhar confiança:
  • Para t=0 obtemos (x,y,z)=(1,-3,-1), que é exatamente o ponto D, ótimo.
  • O coeficiente de t é (1,-2,-5), que coincide com \vec{AB}, garantindo paralelismo.
Observação: poderíamos também escrever a forma vetorial
(x,y,z) = (1,-3,-1) + t(1,-2,-5),
ou a forma simétrica (quando componentes do vetor direção são não nulas)
\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z+1}{-5}.

Resposta

x=1+t,\quad y=-3-2t,\quad z=-1-5t,\quad t\in\mathbb{R}

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