Escreva as equações paramétricas da reta
que passa pelo ponto
e é paralela à reta que passa pelos pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede que escrevamos as equações paramétricas da reta
que passa pelo ponto
e é paralela à reta que passa pelos pontos
e
.
Informações dadas:
O que precisamos fornecer: as equações paramétricas de
, ou seja, expressões para
,
e
em função de um parâmetro (por exemplo
).
Passo 2
Ideia principal (sem resolver ainda): para escrever equações paramétricas de uma reta em
usamos um ponto por onde a reta passa e um vetor direção da reta.
Fórmula geral: se um ponto é
e o vetor direção é
, então as equações paramétricas da reta são
onde
é o parâmetro. Aqui
dá o ponto base
e outros valores de
caminham na direção de
.
Passo 3
Como a reta
é paralela à reta que passa por
e
, um vetor direção para
pode ser o vetor
(qualquer múltiplo não nulo também serve). Vamos calcular
subtraindo coordenadas de
de
:
Agora calculamos componente a componente:
Passo 4
Portanto
Esse vetor é um vetor direção válido para a reta
porque retas paralelas têm vetores direção proporcionais. Podemos então escolher
como vetor direção de
.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula geral usando o ponto
como ponto base
e
como vetor direção. Substituindo em cada fórmula obtemos:
com
.
Passo 6
Verificações rápidas para ganhar confiança:
- Para
obtemos , que é exatamente o ponto , ótimo. - O coeficiente de
é , que coincide com , garantindo paralelismo.
Observação: poderíamos também escrever a forma vetorial
ou a forma simétrica (quando componentes do vetor direção são não nulas)