1 Determine a altura do paralelepípedo delimitado pelos vetores \vec{u}=(2,0,1), \vec{v}=(3,1,-4) e \vec{w}=(-2,1,5) em relação a base

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(2,0,1), \vec{v}=(3,1,-4) e \vec{w}=(-2,1,5) e pede a altura do paralelepípedo delimitado por esses vetores em relação à base. Vou considerar que “a base” é o paralelogramo gerado pelos vetores \vec{u} e \vec{v}. Informações relevantes:
\vec{u}=(2,0,1),
\vec{v}=(3,1,-4),
\vec{w}=(-2,1,5).
O que se pede: a altura h do paralelepípedo em relação à base gerada por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Ideia (sem resolver ainda): a altura h relativa à base é dada por
h=\frac{\text{volume do paralelepípedo}}{\text{área da base}}.íá
Aqui a área da base (paralelogramo) é o módulo do produto vetorial |\vec{u}\times\vec{v}|. O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto triple escalar |\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})| (ou equivalente |(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}|). Vou usar essas fórmulas explicitamente.

Passo 3

Calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Usamos a expansão por determinante:
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 1 & -4 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo componente a componente:
a componente x (coeficiente de \mathbf{i}) é 0\cdot(-4)-1\cdot1=-1.
a componente y (coeficiente de \mathbf{j}) é -(2\cdot(-4)-1\cdot3)= -(-8-3)=11.
a componente z (coeficiente de \mathbf{k}) é 2\cdot1-0\cdot3=2.
Logo
\vec{u}\times\vec{v}=(-1,11,2).

Passo 4

Calcular a área da base, que é o módulo de \vec{u}\times\vec{v}:
|\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{(-1)^2+11^2+2^2}=\sqrt{1+121+4}=\sqrt{126}=3\sqrt{14}.

Passo 5

Calcular o volume do paralelepípedo pelo produto triple escalar. Podemos fazer (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}:
(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}=(-1,11,2)\cdot(-2,1,5).
Fazendo o produto escalar componente a componente:
(-1)\cdot(-2)+11\cdot1+2\cdot5=2+11+10=23.
O volume é o valor absoluto desse número, ou seja V=|23|=23.

Passo 6

Agora a altura h é
h=\frac{V}{\text{área da base}}=\frac{23}{3\sqrt{14}}.á
Se preferir racionalizar o denominador:
h=\frac{23\sqrt{14}}{42}.

Passo 7

Resumo prático para a prova (dica amiga): quando pedirem altura relativa à base gerada por dois vetores, calcule primeiro \vec{u}\times\vec{v} para obter a área da base, depois faça o produto triple escalar para o volume e divida. Assim você evita erros de sinal e aproveita cálculos já feitos.

Resposta

\dfrac{23}{3\sqrt{14}}=\dfrac{23\sqrt{14}}{42}

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