Determine a altura do tetraedro A B C D relativa ao vértice C, sendo A=(1,-2,3), B=(2,1,5), C=(0,5,2) e D=(1,3,-2). resp.: 11 \sqrt{3} / 9
Passo 1
O enunciado dá os pontos A=(1,-2,3), B=(2,1,5), C=(0,5,2) e D=(1,3,-2) e pede a altura do tetraedro relativa ao vértice C.
Isto significa que precisamos encontrar a distância do ponto C ao plano determinado pela face oposta, que é o triângulo formado por A, B e D. Portanto a pergunta é: qual é a distância de C ao plano que passa por A, B e D?
Passo 2
Estratégia (explicada de forma simples): vou usar vetores e produtos vetoriais. Há uma fórmula prática para a distância de um ponto P a um plano que passa por três pontos A,B,D: se definirmos
Vou usar essa fórmula porque ela é direta e computacionalmente rápida: o numerador é o valor absoluto do produto escalar entre \vec{w} e o vetor normal ao plano \vec{u}\times\vec{v}; o denominador é o comprimento desse vetor normal. Geometricamente isso mede a componente de \vec{w} na direção normal ao plano, que é exatamente a distância perpendicular.
Passo 3
Calcular os vetores envolvidos subtraindo coordenadas ponto a ponto: