Determine a altura do tetraedro A B C D relativa ao vértice C, sendo A=(1,-2,3), B=(2,1,5), C=(0,5,2) e D=(1,3,-2). resp.: 11 \sqrt{3} / 9

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(1,-2,3), B=(2,1,5), C=(0,5,2) e D=(1,3,-2) e pede a altura do tetraedro relativa ao vértice C.
Isto significa que precisamos encontrar a distância do ponto C ao plano determinado pela face oposta, que é o triângulo formado por A, B e D. Portanto a pergunta é: qual é a distância de C ao plano que passa por A, B e D?

Passo 2

Estratégia (explicada de forma simples): vou usar vetores e produtos vetoriais. Há uma fórmula prática para a distância de um ponto P a um plano que passa por três pontos A,B,D: se definirmos
\vec{u}= \overrightarrow{AB},\qquad \vec{v}=\overrightarrow{AD},\qquad \vec{w}=\overrightarrow{AC},
então a altura (distância) é
h=\frac{|\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})|}{\|\vec{u}\times\vec{v}\|}.
Vou usar essa fórmula porque ela é direta e computacionalmente rápida: o numerador é o valor absoluto do produto escalar entre \vec{w} e o vetor normal ao plano \vec{u}\times\vec{v}; o denominador é o comprimento desse vetor normal. Geometricamente isso mede a componente de \vec{w} na direção normal ao plano, que é exatamente a distância perpendicular.

Passo 3

Calcular os vetores envolvidos subtraindo coordenadas ponto a ponto:
\vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\;1-(-2),\;5-3)=(1,\;3,\;2),
\vec{v}=\overrightarrow{AD}=D-A=(1-1,\;3-(-2),\;-2-3)=(0,\;5,\;-5),
\vec{w}=\overrightarrow{AC}=C-A=(0-1,\;5-(-2),\;2-3)=(-1,\;7,\;-1).
Cada coordenada é obtida subtraindo a coordenada correspondente de A da coordenada do outro ponto.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}. Usamos a regra do determinante:
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] 1 & 3 & 2 \\[4pt] 0 & 5 & -5 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo componente a componente:
\vec{u}\times\vec{v}=\big(3\cdot(-5)-2\cdot5,\; -(1\cdot(-5)-2\cdot0),\;1\cdot5-3\cdot0\big).
Portanto
\vec{u}\times\vec{v}=(-25,\;5,\;5).]

Passo 5

Calcular o módulo de \vec{u}\times\vec{v}:
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\sqrt{(-25)^2+5^2+5^2}=\sqrt{625+25+25}=\sqrt{675}.
Fatorando \sqrt{675}=\sqrt{9\cdot75}=3\sqrt{75}=3\sqrt{25\cdot3}=15\sqrt{3}.
Portanto
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=15\sqrt{3}.

Passo 6

Calcular o produto escalar \vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}):
\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) = (-1,\;7,\;-1)\cdot(-25,\;5,\;5).
Fazendo as multiplicações coordenada a coordenada e somando:
\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) = (-1)(-25)+7\cdot5+(-1)\cdot5 = 25+35-5=55.
Tomamos o valor absoluto: |\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})|=55.

Passo 7

Aplicar a fórmula da altura:
h=\frac{|\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})|}{\|\vec{u}\times\vec{v}\|}=\frac{55}{15\sqrt{3}}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 5:
h=\frac{11}{3\sqrt{3}}.
Racionalizando o denominador (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}):
h=\frac{11\sqrt{3}}{3\cdot3}=\frac{11\sqrt{3}}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{11\sqrt{3}}{9}

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