Determine a posição relativa entre r:\left\{\frac{x-1}{2}=y+22=z\right\} e s:\left\{\begin{array}{l}x+y+3 z-2=0 \\\ x-y+z-6=0\end{array}\right.. resp.: reversas

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3 e pede a posição relativa entre elas. Informações fornecidas:
  • Reta r dada por \left\{\dfrac{x-1}{2}=y+22=z\right\}.
  • Reta s dada como interseção de dois planos \left\{\begin{array}{l}x+y+3 z-2=0 \\\ x-y+z-6=0\end{array}\right..
    O que precisamos responder: se as retas são coincidentes, paralelas distintas, concorrentes (têm um ponto em comum) ou reversas (ou seja, não são paralelas e não se intersectam — também chamadas de “skew” em inglês).

Passo 2

Transformar a reta r\) para forma paramétrica (isso deixa claro ponto e vetor diretor). Faço a substituição comum: chamo o valor comum \(\dfrac{x-1}{2}=y+22=z\) de \(t\). Assim: \[z=t.
Da igualdade \dfrac{x-1}{2}=t obtemos
x=1+2t.
Da igualdade y+22=t obtemos
y=t-22.
Logo a forma paramétrica de r é
\begin{cases} x=1+2t,\\[4pt] y=t-22,\\[4pt] z=t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.
Dessa forma vemos imediatamente um ponto da reta (quando t=0\]) \(P_0=(1,-22,0) e o vetor diretor
v_r=(2,1,1).
Explicação rápida: o vetor diretor é dado pelos coeficientes das componentes que multiplicam o parâmetro t; o ponto é o valor das componentes quando t=0.]

Passo 3

Transformar a reta s\) (interseção de dois planos) para forma paramétrica. Denoto \(z=u\) como parâmetro livre e resolvo as duas equações para \(x\) e \(y\) em função de \(u\). Somando as duas equações: \[(x+y+3z-2)+(x-y+z-6)=0 \Rightarrow 2x+4z-8=0,
portanto
2x=8-4z \Rightarrow x=4-2z.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(x+y+3z-2)-(x-y+z-6)=0 \Rightarrow 2y+2z+4=0,
portanto
2y=-2z-4 \Rightarrow y=-z-2.
Tomando z=u obtemos a forma paramétrica
\begin{cases} x=4-2u,\\[4pt] y=-2-u,\\[4pt] z=u, \end{cases}\quad u\in\mathbb{R}.
Daí um ponto da reta (quando u=0\]) é \(Q_0=(4,-2,0) e o vetor diretor é
v_s=(-2,-1,1).]

Passo 4

Verificar se as retas são paralelas: duas retas em \mathbb{R}^3 são paralelas se e somente se seus vetores diretores são colineares, ou seja, se existe \lambda\in\mathbb{R} tal que v_r=\lambda v_s.
Tentamos resolver componente a componente:
(2,1,1)=\lambda(-2,-1,1).
Da primeira componente 2=\lambda(-2) segue \lambda=-1.
Verificando a segunda componente com \lambda=-1: 1 = (-1)\cdot(-1)=1 (ok).
Verificando a terceira componente com \lambda=-1: 1 = (-1)\cdot 1 = -1 (não ok).
Como não existe \lambda que satisfaça todas as três componentes simultaneamente, os vetores não são colineares. Conclusão: as retas não são paralelas.

Passo 5

Verificar se as retas se intersectam: igualamos as coordenas paramétricas e tentamos achar t\) e \(u\) tais que \[\begin{cases} 1+2t = 4-2u,\\[4pt] t-22 = -2-u,\\[4pt] t = u. \end{cases}
Da terceira equação temos u=t\]. Substituindo na primeira: \[1+2t=4-2t \Rightarrow 4t=3 \Rightarrow t=\tfrac{3}{4}.\] Substituindo \(u=t na segunda:
t-22=-2-t \Rightarrow 2t=20 \Rightarrow t=10.
Obtivemos duas conclusões contraditórias para t ( t=\tfrac{3}{4} e t=10). Portanto não existe par (t,u) que satisfaça simultaneamente as três igualdades — as retas não se intersectam.]

Passo 6

Conclusão conjunta: como as retas não são paralelas (Passo 4) e também não se intersectam (Passo 5), na geometria do espaço \mathbb{R}^3 só resta a possibilidade de que sejam retas reversas (skew), ou seja, não coplanares, não paralelas e sem ponto em comum. Intuição: direções não colineares e ausência de solução simultânea implicam que elas passam “por planos diferentes” e não se encontram.

Resposta

reversas

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