Determine a distância entre os planos
x+y-z=7 e 2 x+2 y-2 z=25.

Passo 1

O enunciado dá dois planos e pede a distância entre eles. Informações fornecidas:
  • Primeiro plano: x+y-z=7.
  • Segundo plano: 2x+2y-2z=25.
    Pergunta: qual é a distância entre esses dois planos?

Passo 2

Vamos listar os coeficientes (necessários para trabalhar com planos). Para um plano da forma ax+by+cz+d=0 os coeficientes são a,b,c,d.
  • Para x+y-z=7 (escrevendo na forma padrão): x+y-z-7=0. Então a=1, b=1, c=-1, d_1=-7.
  • Para 2x+2y-2z=25 (forma padrão): 2x+2y-2z-25=0. Então a'=2, b'=2, c'=-2, d_2'=-25.
Observação importante (só listando dados por enquanto): os vetores normais a cada plano são (1,1,-1) e (2,2,-2). Não farei conclusão final aqui, só estou mostrando os vetores normais que recebemos dos coeficientes.

Passo 3

Explicação da ideia que vamos usar (aula rápida): se dois planos são paralelos, eles têm vetores normais proporcionais. Para planos paralelos escritos com o mesmo vetor normal (a,b,c), ou seja,
ax+by+cz+d_1=0
e
ax+by+cz+d_2=0,
a distância entre eles é dada por
\text{dist}=\frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Por que isso funciona? Rápida intuição e derivação: escolha qualquer ponto P=(x_0,y_0,z_0) no primeiro plano; a distância do ponto P até o segundo plano é a projeção do vetor que liga P a um ponto do segundo plano sobre o vetor normal (a,b,c). A fórmula da distância ponto-plano é
\text{dist}(P,\;ax+by+cz+d=0)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Se P está no primeiro plano então ax_0+by_0+cz_0+d_1=0, assim substituindo no segundo obtemos exatamente |d_2-d_1|/\sqrt{a^2+b^2+c^2}. Ou seja, essa é a fórmula que vamos aplicar. (Dica prática para prova: normalize os dois planos para terem os mesmos a,b,c antes de aplicar a fórmula.)

Passo 4

Verificamos que os vetores normais são proporcionais: (2,2,-2)=2\cdot(1,1,-1). Logo os planos são paralelos — condição necessária para usarmos a fórmula do passo anterior.
Para aplicar a fórmula precisamos escrever ambos os planos com o mesmo vetor normal (a,b,c). O primeiro já tem (1,1,-1). Dividindo a equação do segundo plano por 2 obtemos:
x+y-z=\frac{25}{2}.
Escrevendo na forma ax+by+cz+d=0:
  • Primeiro: x+y-z-7=0 com d_1=-7.
  • Segundo (dividido por 2): x+y-z-\dfrac{25}{2}=0 com d_2=-\dfrac{25}{2}.

Passo 5

Calcule |d_2-d_1| passo a passo:
d_2-d_1 = -\frac{25}{2} - (-7) = -\frac{25}{2} + 7 = -\frac{25}{2} + \frac{14}{2} = -\frac{11}{2}.
Portanto |d_2-d_1| = \frac{11}{2}.
O denominador da fórmula é \sqrt{a^2+b^2+c^2} com a=1,b=1,c=-1:
\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.

Passo 6

Aplicando a fórmula da distância:
\text{dist}=\frac{|d_2-d_1|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{\tfrac{11}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{11}{2\sqrt{3}}.
Se quiser racionalizar o denominador (às vezes pedem isso), multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{3}:
\frac{11}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{11\sqrt{3}}{6}.

Resposta

\dfrac{11\sqrt{3}}{6}

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