Determine a distância entre os planos
x+y-z=7 e 2 x+2 y-2 z=25.
x+y-z=7 e 2 x+2 y-2 z=25.
Passo 1
O enunciado dá dois planos e pede a distância entre eles. Informações fornecidas:
- Primeiro plano:
. - Segundo plano:
.
Pergunta: qual é a distância entre esses dois planos?
Passo 2
Vamos listar os coeficientes (necessários para trabalhar com planos). Para um plano da forma
os coeficientes são
.
- Para
(escrevendo na forma padrão): . Então , , , . - Para
(forma padrão): . Então , , , .
Observação importante (só listando dados por enquanto): os vetores normais a cada plano são
e
. Não farei conclusão final aqui, só estou mostrando os vetores normais que recebemos dos coeficientes.
Passo 3
Explicação da ideia que vamos usar (aula rápida): se dois planos são paralelos, eles têm vetores normais proporcionais. Para planos paralelos escritos com o mesmo vetor normal
, ou seja,
e
a distância entre eles é dada por
Por que isso funciona? Rápida intuição e derivação: escolha qualquer ponto
no primeiro plano; a distância do ponto
até o segundo plano é a projeção do vetor que liga
a um ponto do segundo plano sobre o vetor normal
. A fórmula da distância ponto-plano é
Se
está no primeiro plano então
, assim substituindo no segundo obtemos exatamente
. Ou seja, essa é a fórmula que vamos aplicar. (Dica prática para prova: normalize os dois planos para terem os mesmos
antes de aplicar a fórmula.)
Passo 4
Verificamos que os vetores normais são proporcionais:
. Logo os planos são paralelos — condição necessária para usarmos a fórmula do passo anterior.
Para aplicar a fórmula precisamos escrever ambos os planos com o mesmo vetor normal
. O primeiro já tem
. Dividindo a equação do segundo plano por
obtemos:
Escrevendo na forma
:
- Primeiro:
com . - Segundo (dividido por 2):
com .
Passo 5
Calcule
passo a passo:
Portanto
.
O denominador da fórmula é
com
:
Passo 6
Aplicando a fórmula da distância:
Se quiser racionalizar o denominador (às vezes pedem isso), multiplicamos numerador e denominador por
: