Prove que as retas
r:\left\{\begin{array}{l} 3 x+4 y-2 z=0 \\\\ 2 x-3 y-7 z=0 \end{array}, s:\left\{\begin{array}{l} x+3 y-5 z+6=0 \\\\ 5 x-4 z-6=0 \end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3\), cada uma como interseção de duas planas: \[r:\begin{cases} 3x+4y-2z=0,\\[4pt] 2x-3y-7z=0, \end{cases} \qquad s:\begin{cases} x+3y-5z+6=0,\\[4pt] 5x-4z-6=0. \end{cases}
A pergunta implícita (considerando que a questão está bem formulada) é determinar a posição relativa das retas r\] e \(s: elas são coincidentes, paralelas distintas, concorrentes (intersectam-se) ou reversas (skew)? Devemos provar qual é o caso e, se houver interseção, encontrar o ponto de interseção.]

Passo 2

Primeiro vamos obter vetores diretores das retas. Lembrança didática: cada reta é interseção de duas planas; se \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são os vetores normais das duas planas, então um vetor diretor da reta é um vetor perpendicular a ambos \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2. O produto vetorial (cross product) fornece exatamente um vetor perpendicular aos dois vetores dados. Portanto calculamos os normais e depois o produto vetorial.
Para r os vetores normais das duas planas são
\mathbf{n}_1=(3,4,-2),\qquad \mathbf{n}_2=(2,-3,-7).

Passo 3

Vamos calcular o vetor diretor de r como \mathbf{v}_r=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Lembrando a fórmula do produto vetorial em coordenadas:
(a_1,a_2,a_3)\times(b_1,b_2,b_3)=\big(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\big).
Aplicando para \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2:
\mathbf{v}_r=\big(4\cdot(-7)-(-2)\cdot(-3),\;(-2)\cdot2-3\cdot(-7),\;3\cdot(-3)-4\cdot2\big).
Calculemos cada componente:
\text{1ª comp. }= -28-6=-34,ª
\text{2ª comp. }= -4-(-21)=17,ª
\text{3ª comp. }= -9-8=-17.ª
Logo
\mathbf{v}_r=(-34,17,-17)=17\cdot(-2,1,-1).
Podemos tomar como vetor diretor simplificado
\mathbf{v}_r = (-2,1,-1)\quad\text{ou}\quad (2,-1,1)
(qualquer múltiplo não nulo descreve a mesma direção).

Passo 4

Para s os normais das planas são
\mathbf{m}_1=(1,3,-5),\qquad \mathbf{m}_2=(5,0,-4)
(observação: peguei o coeficiente de y da segunda equação como 0).
Calculamos o vetor diretor \mathbf{v}_s=\mathbf{m}_1\times\mathbf{m}_2 usando a mesma fórmula:
\mathbf{v}_s=\big(3\cdot(-4)-(-5)\cdot0,\;(-5)\cdot5-1\cdot(-4),\;1\cdot0-3\cdot5\big).
Compute:
\text{1ª comp. }= -12-0=-12,ª
\text{2ª comp. }= -25+4=-21,ª
\text{3ª comp. }= 0-15=-15.ª
Portanto
\mathbf{v}_s=(-12,-21,-15)=-3\cdot(4,7,5).
Podemos tomar como vetor diretor simplificado
\mathbf{v}_s=(4,7,5).

Passo 5

Agora comparamos as direções para ver se as retas são paralelas. Se existisse um escalar \lambda tal que \mathbf{v}_r=\lambda\mathbf{v}_s, então seriam paralelas. Tomando \mathbf{v}_r=(2,-1,1) e \mathbf{v}_s=(4,7,5), vemos que as razões entre componentes são:
\frac{2}{4}=\tfrac12,\qquad \frac{-1}{7}=-\tfrac{1}{7},\qquad \frac{1}{5}=\tfrac15,
que não são iguais. Logo não existe \lambda que satisfaça \mathbf{v}_r=\lambda\mathbf{v}_s. Conclusão: as retas não são paralelas.
Como não são paralelas em \mathbb{R}^3, restam duas possibilidades: intersectam-se (concorrentes) ou são reversas (skew). Para decidir, tentamos encontrar um ponto comum.

Passo 6

Parametrizamos a reta r resolvendo o sistema das suas duas planas. Tomemos z=t como parâmetro. Das equações
3x+4y-2z=0,\qquad 2x-3y-7z=0,
eliminamos para achar x e y em função de z. Multiplicando a primeira por 2 e a segunda por 3 e subtraindo:
6x+8y-4z=0,
6x-9y-21z=0,
subtraindo a segunda da primeira:
(6x+8y-4z)-(6x-9y-21z)=17y+17z=0 \implies y=-z.
Usando y=-z na primeira equação:
3x+4(-z)-2z=0 \implies 3x-6z=0 \implies x=2z.
Logo, com z=t,
r:\\ (x,y,z)=(2t,-t,t)=t\cdot(2,-1,1).
Note que t=0 dá o ponto (0,0,0), então r passa pela origem.

Passo 7

Parametrizamos a reta s. Tomemos z=u como parâmetro. Das equações de s:
x+3y-5z+6=0,\qquad 5x-4z-6=0.
Da segunda equação
5x=4z+6 \implies x=\frac{4}{5}z+\frac{6}{5}.
Substituindo na primeira:
\frac{4}{5}z+\frac{6}{5}+3y-5z+6=0.
Multiplicando por 5 para eliminar denominadores:
4z+6+15y-25z+30=0 \implies 15y-21z+36=0 \implies y=\frac{21z-36}{15}=\frac{7z-12}{5}.
Tomando z=u, obtemos
s:\\ (x,y,z)=\Big(\tfrac{4}{5}u+\tfrac{6}{5},\;\tfrac{7}{5}u-\tfrac{12}{5},\;u\Big).
Escrevendo como ponto inicial mais parâmetro:
s:\\ (x,y,z)=\Big(\tfrac{6}{5},-\tfrac{12}{5},0\Big)+u\cdot\Big(\tfrac{4}{5},\tfrac{7}{5},1\Big).
Note que \big(\tfrac{4}{5},\tfrac{7}{5},1\big) é proportional a (4,7,5), compatível com \mathbf{v}_s.

Passo 8

Para testar interseção igualamos as parametrizações: queremos t e u tais que
(2t,-t,t)=\Big(\tfrac{6}{5}+\tfrac{4}{5}u,\;-\tfrac{12}{5}+\tfrac{7}{5}u,\;u\Big).
Da componente z vem imediatamente t=u. Substituindo u=t na componente x:
2t=\tfrac{6}{5}+\tfrac{4}{5}t \implies 2t-\tfrac{4}{5}t=\tfrac{6}{5}\implies \tfrac{6}{5}t=\tfrac{6}{5}\implies t=1.
Verificamos a componente y: com t=1 a esquerda dá -1, e a direita dá
-\tfrac{12}{5}+\tfrac{7}{5}\cdot1=-\tfrac{12}{5}+\tfrac{7}{5}=-\tfrac{5}{5}=-1,
coincide. Portanto existe t=1 (e u=1) tal que os pontos coincidem.

Passo 9

O ponto de interseção correspondente a t=1 na reta r (ou u=1 na reta s) é
(2\cdot1,\,-1,\;1)=(2,-1,1).
Concluímos que as retas não são paralelas e possuem um ponto comum, logo são concorrentes (intersectam-se) no ponto (2,-1,1).

Resposta

As retas r e s intersectam-se no ponto (2,-1,1).

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