O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3\), cada uma como interseção de duas planas:
\[r:\begin{cases} 3x+4y-2z=0,\\[4pt] 2x-3y-7z=0, \end{cases} \qquad s:\begin{cases} x+3y-5z+6=0,\\[4pt] 5x-4z-6=0. \end{cases}
A pergunta implícita (considerando que a questão está bem formulada) é determinar a posição relativa das retas r\] e \(s: elas são coincidentes, paralelas distintas, concorrentes (intersectam-se) ou reversas (skew)? Devemos provar qual é o caso e, se houver interseção, encontrar o ponto de interseção.]
Passo 2
Primeiro vamos obter vetores diretores das retas. Lembrança didática: cada reta é interseção de duas planas; se \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são os vetores normais das duas planas, então um vetor diretor da reta é um vetor perpendicular a ambos \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2. O produto vetorial (cross product) fornece exatamente um vetor perpendicular aos dois vetores dados. Portanto calculamos os normais e depois o produto vetorial.
Agora comparamos as direções para ver se as retas são paralelas. Se existisse um escalar \lambda tal que \mathbf{v}_r=\lambda\mathbf{v}_s, então seriam paralelas. Tomando \mathbf{v}_r=(2,-1,1) e \mathbf{v}_s=(4,7,5), vemos que as razões entre componentes são:
que não são iguais. Logo não existe \lambda que satisfaça \mathbf{v}_r=\lambda\mathbf{v}_s. Conclusão: as retas não são paralelas.
Como não são paralelas em \mathbb{R}^3, restam duas possibilidades: intersectam-se (concorrentes) ou são reversas (skew). Para decidir, tentamos encontrar um ponto comum.
Passo 6
Parametrizamos a reta r resolvendo o sistema das suas duas planas. Tomemos z=t como parâmetro. Das equações
3x+4y-2z=0,\qquad 2x-3y-7z=0,
eliminamos para achar x e y em função de z. Multiplicando a primeira por 2 e a segunda por 3 e subtraindo:
6x+8y-4z=0,
6x-9y-21z=0,
subtraindo a segunda da primeira:
(6x+8y-4z)-(6x-9y-21z)=17y+17z=0 \implies y=-z.
Usando y=-z na primeira equação:
3x+4(-z)-2z=0 \implies 3x-6z=0 \implies x=2z.
Logo, com z=t,
r:\\ (x,y,z)=(2t,-t,t)=t\cdot(2,-1,1).
Note que t=0 dá o ponto (0,0,0), então r passa pela origem.
Passo 7
Parametrizamos a reta s. Tomemos z=u como parâmetro. Das equações de s: