Determine a amplitude, a variancia e o desvio-padrão para cada uma das duas amosiras, e compare os dois conjunios de resultados. (Na Seção 2-4 utilizamos esses mesmos dados.)
Amostras das idades (em anos) de carros de alunos e de professores e funcionários de una faculdade, obtidos na faculdade do autor.
Estudantes:
Profs. efuncs.:
Amostras das idades (em anos) de carros de alunos e de professores e funcionários de una faculdade, obtidos na faculdade do autor.
Estudantes:
Profs. efuncs.:
Passo 1
O que o problema pede: calcular para cada uma das duas amostras (estudantes e professores/funcionários) os seguintes indicadores estatísticos: a amplitude, a variância e o desvio-padrão, e então comparar os dois conjuntos de resultados.
Dados fornecidos (peguei os números diretamente do enunciado):
Estudantes: .
Professores e funcionários: .
Cada amostra tem observações.
A resolução começa mostrando como calcular cada indicador passo a passo, com as contas detalhadas para você poder repetir na prova.
Dados fornecidos (peguei os números diretamente do enunciado):
Estudantes:
Professores e funcionários:
Cada amostra tem
A resolução começa mostrando como calcular cada indicador passo a passo, com as contas detalhadas para você poder repetir na prova.
Passo 2
Amplitude (definição e cálculo): amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra. Se
é o maior e
é o menor, então
.
- Para estudantes: o maior é
e o menor é . Logo a amplitude é . - Para professores/funcionários: o maior é
e o menor é . Logo a amplitude é .
Passo 3
Cálculo das médias (média aritmética, porque precisamos dela para a variância): a média amostral é
, onde
são os valores e
o número de observações. Vou somar explicitamente cada amostra.
- Estudantes: soma dos valores
. Então
- Professores/funcionários: soma
. Então
Passo 4
O que é variância e qual fórmula usar: a variância mede a dispersão dos dados em torno da média. Como estamos lidando com amostras (e não com toda a população), usamos a variância amostral não viciada, dada por
onde
é o tamanho da amostra,
cada observação e
a média amostral. O denominador
corrige o viés (explicação rápida e intuitiva: ao estimar a variância a partir da amostra usamos a média amostral que já “gastou” um grau de liberdade, por isso dividimos por
e não por
). O desvio-padrão amostral
é a raiz quadrada da variância:
Passo 5
Cálculo detalhado da soma dos quadrados das diferenças para a amostra dos estudantes: vou computar
. Usei a média
. Para cada valor calculei o desvio e o quadrado; aqui resumo os quadrados (todos em forma fracionária com denominador
):
valores dos quadrados:
valores dos quadrados:
Somando esses numeradores obtive
. Assim
Passo 6
Variância e desvio-padrão amostral para os estudantes: aplicando a fórmula com
,
e o desvio-padrão é
Passo 7
Cálculo detalhado da soma dos quadrados das diferenças para a amostra dos professores/funcionários: usei
. Os quadrados dos desvios (com denominador
) foram:
Somando os numeradores:
. Logo
Passo 8
Variância e desvio-padrão amostral para professores/funcionários: com
,
e
Passo 9
Comparação dos dois conjuntos (interpretação amigável):
- Amplitude: estudantes
, professores/funcionários . Os carros dos professores/funcionários têm uma amplitude maior, ou seja, valores mais extremos (há carros muito velhos, por exemplo o valor ). - Variância e desvio-padrão: a variância e o desvio-padrão dos professores/funcionários são aproximadamente o dobro (variância
vs ; desvio vs ). Isso significa que as idades dos carros dos professores/funcionários estão mais espalhadas ao redor da média do que as idades dos carros dos estudantes. - Médias são parecidas:
e , ou seja, as medidas de tendência central são próximas, mas a dispersão (variabilidade) é maior para professores/funcionários. Em resumo: centro parecido, porém maior dispersão no grupo de professores/funcionários.
Resposta
Estudantes: amplitude
, variância amostral
, desvio-padrão
.
Professores e funcionários: amplitude , variância amostral
, desvio-padrão
.
Professores e funcionários: amplitude