Determine a amplitude, a variancia e o desvio-padrão para cada uma das duas amosiras, e compare os dois conjunios de resultados. (Na Seção 2-4 utilizamos esses mesmos dados.)
Amostras das idades (em anos) de carros de alunos e de professores e funcionários de una faculdade, obtidos na faculdade do autor.
Estudantes: \quad \begin{array}{llllllllllll}10 & 4 & 5 & 2 & 9 & 7 & 8 & 8 & 16 & 4 & 13 & 12\end{array}
Profs. efuncs.: \begin{array}{llllllllllll}7 & 10 & 4 & 13 & 23 & 2 & 7 & 6 & 6 & 3 & 9 & 4\end{array}

Passo 1

O que o problema pede: calcular para cada uma das duas amostras (estudantes e professores/funcionários) os seguintes indicadores estatísticos: a amplitude, a variância e o desvio-padrão, e então comparar os dois conjuntos de resultados.
Dados fornecidos (peguei os números diretamente do enunciado):
Estudantes: \;10,\;4,\;5,\;2,\;9,\;7,\;8,\;8,\;16,\;4,\;13,\;12.
Professores e funcionários: \;7,\;10,\;4,\;13,\;23,\;2,\;7,\;6,\;6,\;3,\;9,\;4.
Cada amostra tem n=12 observações.
A resolução começa mostrando como calcular cada indicador passo a passo, com as contas detalhadas para você poder repetir na prova.

Passo 2

Amplitude (definição e cálculo): amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra. Se \max é o maior e \min é o menor, então \text{amplitude}=\max-\min.
  • Para estudantes: o maior é \,16 e o menor é \,2. Logo a amplitude é \,16-2=14.
  • Para professores/funcionários: o maior é \,23 e o menor é \,2. Logo a amplitude é \,23-2=21.

Passo 3

Cálculo das médias (média aritmética, porque precisamos dela para a variância): a média amostral é \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i, onde x_i são os valores e n o número de observações. Vou somar explicitamente cada amostra.
  • Estudantes: soma dos valores =10+4+5+2+9+7+8+8+16+4+13+12=98. Então
\bar{x}_{\text{est}}=\dfrac{98}{12}=\dfrac{49}{6}\approx 8,166\ldots
  • Professores/funcionários: soma =7+10+4+13+23+2+7+6+6+3+9+4=94. Então
\bar{x}_{\text{prof}}=\dfrac{94}{12}=\dfrac{47}{6}\approx 7,833\ldots

Passo 4

O que é variância e qual fórmula usar: a variância mede a dispersão dos dados em torno da média. Como estamos lidando com amostras (e não com toda a população), usamos a variância amostral não viciada, dada por
s^{2}=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2},
onde n é o tamanho da amostra, x_i cada observação e \bar{x} a média amostral. O denominador n-1 corrige o viés (explicação rápida e intuitiva: ao estimar a variância a partir da amostra usamos a média amostral que já “gastou” um grau de liberdade, por isso dividimos por n-1 e não por n). O desvio-padrão amostral s é a raiz quadrada da variância:
s=\sqrt{s^{2}}.

Passo 5

Cálculo detalhado da soma dos quadrados das diferenças para a amostra dos estudantes: vou computar \sum (x_i-\bar{x}_{\text{est}})^2. Usei a média \bar{x}_{\text{est}}=\dfrac{49}{6}. Para cada valor calculei o desvio e o quadrado; aqui resumo os quadrados (todos em forma fracionária com denominador 36):
valores dos quadrados:
\frac{121}{36},\;\frac{625}{36},\;\frac{361}{36},\;\frac{1369}{36},\;\frac{25}{36},\;\frac{49}{36},\;\frac{1}{36},\;\frac{1}{36},\;\frac{2209}{36},\;\frac{625}{36},\;\frac{841}{36},\;\frac{529}{36}.
Somando esses numeradores obtive 121+625+361+1369+25+49+1+1+2209+625+841+529=6756. Assim
\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x}_{\text{est}})^2=\dfrac{6756}{36}=\dfrac{563}{3}\approx 187,666\ldots

Passo 6

Variância e desvio-padrão amostral para os estudantes: aplicando a fórmula com n-1=11,
s^{2}_{\text{est}}=\dfrac{1}{11}\cdot\dfrac{563}{3}=\dfrac{563}{33}\approx 17,0606\ldots
e o desvio-padrão é
s_{\text{est}}=\sqrt{\dfrac{563}{33}}\approx 4,130\\ (\text{aprox. }4,13045).

Passo 7

Cálculo detalhado da soma dos quadrados das diferenças para a amostra dos professores/funcionários: usei \bar{x}_{\text{prof}}=\dfrac{47}{6}. Os quadrados dos desvios (com denominador 36) foram:
\frac{25}{36},\;\frac{169}{36},\;\frac{529}{36},\;\frac{961}{36},\;\frac{8281}{36},\;\frac{1225}{36},\;\frac{25}{36},\;\frac{121}{36},\;\frac{121}{36},\;\frac{841}{36},\;\frac{49}{36},\;\frac{529}{36}.
Somando os numeradores: 25+169+529+961+8281+1225+25+121+121+841+49+529=12876. Logo
\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x}_{\text{prof}})^2=\dfrac{12876}{36}=\dfrac{1073}{3}\approx 357,666\ldots

Passo 8

Variância e desvio-padrão amostral para professores/funcionários: com n-1=11,
s^{2}_{\text{prof}}=\dfrac{1}{11}\cdot\dfrac{1073}{3}=\dfrac{1073}{33}\approx 32,51515\ldots
e
s_{\text{prof}}=\sqrt{\dfrac{1073}{33}}\approx 5,702\\ (\text{aprox. }5,7022).

Passo 9

Comparação dos dois conjuntos (interpretação amigável):
  • Amplitude: estudantes \,14, professores/funcionários \,21. Os carros dos professores/funcionários têm uma amplitude maior, ou seja, valores mais extremos (há carros muito velhos, por exemplo o valor 23).
  • Variância e desvio-padrão: a variância e o desvio-padrão dos professores/funcionários são aproximadamente o dobro (variância \approx 32,52 vs \approx 17,06; desvio \approx 5,70 vs \approx 4,13). Isso significa que as idades dos carros dos professores/funcionários estão mais espalhadas ao redor da média do que as idades dos carros dos estudantes.
  • Médias são parecidas: \bar{x}_{\text{est}}\approx 8,167 e \bar{x}_{\text{prof}}\approx 7,833, ou seja, as medidas de tendência central são próximas, mas a dispersão (variabilidade) é maior para professores/funcionários. Em resumo: centro parecido, porém maior dispersão no grupo de professores/funcionários.

Resposta

Estudantes: amplitude =14, variância amostral s^{2}=\dfrac{563}{33}\approx 17,0606, desvio-padrão s\approx 4,130.
Professores e funcionários: amplitude =21, variância amostral s^{2}=\dfrac{1073}{33}\approx 32,5152, desvio-padrão s\approx 5,702.

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