As tabelas de frequência costumam apresentar classes com intervalos. A tabela a seguir lista o número de horas semanais gastas em estudo por calouros (com base em dados de The American Freshman, em USA Today). Não se pode aplicar diretamente a Fórmula 2-2, porque o ponto médio da classe “mais de 20” não está definido. Calcule a média supondo que esta última classe seja realmente (a) 21-25, (b) 21-30, (c) 21-40. O que se pode concluir?
Horas de estudo por semana Frequência
0 5
1-5 96
6-10 57
11-15 25
16-20 11
Mais de 20 6

Passo 1

O enunciado pede para calcular a média do número de horas semanais gastas em estudo por calouros, usando a tabela de frequências abaixo, quando a última classe “Mais de 20” for interpretada, em três hipóteses diferentes: (a) 21\text{-}25, (b) 21\text{-}30, (c) 21\text{-}40. Lista das informações fornecidas (frequências):
  • Classe 0: frequência 5
  • Classe 1\text{-}5: frequência 96
  • Classe 6\text{-}10: frequência 57
  • Classe 11\text{-}15: frequência 25
  • Classe 16\text{-}20: frequência 11
  • Classe “Mais de 20”: frequência 6 (intervalo a ser assumido conforme cada hipótese)
O que precisamos devolver: a média aritmética aproximada da distribuição para cada uma das três hipóteses sobre o intervalo da última classe.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (sem jargões): para dados agrupados em classes usamos a fórmula da média por classes, que substitui cada classe pelo seu ponto médio e calcula a média ponderada pelas frequências. A fórmula é
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i} f_i m_i
onde:
  • N=\sum_i f_i é o total de observações (número total de calouros entrevistados),
  • f_i é a frequência da i-ésima classe,
  • m_i é o ponto médio (ou marca de classe) da i-ésima classe.
Explicando m_i: se uma classe vai de a até b, o ponto médio é m=(a+b)/2. Para uma classe que contém um único valor (como 0), o ponto médio é esse próprio valor, 0.

Passo 3

Calcular o total de observações N. Somamos todas as frequências dadas:
N=5+96+57+25+11+6.
Vamos somar passo a passo: 5+96=101, 101+57=158, 158+25=183, 183+11=194, 194+6=200. Logo
N=200.
Bom: temos 200 observações no total — número redondinho, isso facilita contas.

Passo 4

Calcular os pontos médios m_i das classes (exceto a última, que depende da hipótese). Para as classes dadas:
  • Para a classe 0: m=0.
  • Para a classe 1\text{-}5: m=(1+5)/2=3.
  • Para a classe 6\text{-}10: m=(6+10)/2=8.
  • Para a classe 11\text{-}15: m=(11+15)/2=13.
  • Para a classe 16\text{-}20: m=(16+20)/2=18.
Vou calcular os produtos f_i m_i dessas classes agora.

Passo 5

Calcular f_i m_i para as classes cujo ponto médio já está certo:
  • Classe 0: f\cdot m = 5\cdot 0 = 0.
  • Classe 1\text{-}5: f\cdot m = 96\cdot 3 = 288. (porque 96\times 3=288)
  • Classe 6\text{-}10: f\cdot m = 57\cdot 8 = 456. (pois 57\times 8 = 456)
  • Classe 11\text{-}15: f\cdot m = 25\cdot 13 = 325.
  • Classe 16\text{-}20: f\cdot m = 11\cdot 18 = 198.
Somando esses cinco produtos (todas as classes exceto a última) temos:
\sum_{i\neq \text{última}} f_i m_i = 0+288+456+325+198.ú
Vamos somar: 288+456=744, 744+325=1069, 1069+198=1267. Portanto
\sum_{i\neq \text{última}} f_i m_i = 1267.ú
Esse é o total parcial; falta adicionar a contribuição da última classe (6 observações times o ponto médio que depende da hipótese).

Passo 6

Caso (a): assumir que a última classe é 21\text{-}25. Calcular ponto médio e média.
  • Ponto médio da última classe: m_{\text{ult}}=(21+25)/2=23.
  • Produto f\cdot m da última: 6\cdot 23 = 138.
  • Soma total dos produtos: 1267+138=1405.
  • Aplicando a fórmula da média:
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum f_i m_i = \frac{1405}{200}.
Fazendo a divisão: \dfrac{1405}{200}=\dfrac{281}{40}=7,025.
Logo, na hipótese (a) a média é \bar{x}=7,025 horas por semana (aproximadamente 7,03 horas).

Passo 7

Caso (b): assumir que a última classe é 21\text{-}30. Calcular ponto médio e média.
  • Ponto médio da última classe: m_{\text{ult}}=(21+30)/2=25{,}5.
  • Produto f\cdot m da última: 6\cdot 25{,}5 = 153. (porque 6\times 25=150 e 6\times 0{,}5=3, total 153)
  • Soma total dos produtos: 1267+153=1420.
  • Média:
\bar{x}=\frac{1420}{200}=7{,}1.
Portanto, na hipótese (b) a média é \bar{x}=7{,}1 horas por semana.

Passo 8

Caso (c): assumir que a última classe é 21\text{-}40. Calcular ponto médio e média.
  • Ponto médio da última classe: m_{\text{ult}}=(21+40)/2=30{,}5.
  • Produto f\cdot m da última: 6\cdot 30{,}5 = 183. (pois 6\times 30=180 e 6\times 0{,}5=3)
  • Soma total dos produtos: 1267+183=1450.
  • Média:
\bar{x}=\frac{1450}{200}=7{,}25.
Assim, na hipótese (c) a média é \bar{x}=7{,}25 horas por semana.

Passo 9

Interpretação e conclusão (de prova): comparar os três resultados:
  • (a) \bar{x}=7{,}025
  • (b) \bar{x}=7{,}1
  • (c) \bar{x}=7{,}25
A variação entre o menor e o maior valor é 7{,}25-7{,}025=0{,}225 hora, ou seja 0{,}225\times 60\approx 13{,}5 minutos. Conclusão prática: como a última classe tem pouca frequência ( 6 de 200, isto é 6/200=0{,}03 ou 3\%), a média não muda muito quando mudamos razoavelmente o intervalo da classe aberta. Em provas, é comum assumir um intervalo plausível para a classe aberta; se a frequência da classe aberta for pequena, a média estimada será robusta frente a essa suposição.

Resposta

(a) \bar{x}=7{,}025 horas por semana.
(b) \bar{x}=7{,}1 horas por semana.
(c) \bar{x}=7{,}25 horas por semana.

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