As tabelas de frequência costumam apresentar classes com intervalos. A tabela a seguir lista o número de horas semanais gastas em estudo por calouros (com base em dados de The American Freshman, em USA Today). Não se pode aplicar diretamente a Fórmula 2-2, porque o ponto médio da classe “mais de 20” não está definido. Calcule a média supondo que esta última classe seja realmente (a) 21-25, (b) 21-30, (c) 21-40. O que se pode concluir?
Horas de estudo por semana
Frequência
0
5
96
57
25
11
Mais de 20
6
| Horas de estudo por semana | Frequência |
| 0 | 5 |
|
|
96 |
|
|
57 |
|
|
25 |
|
|
11 |
| Mais de 20 | 6 |
Passo 1
O enunciado pede para calcular a média do número de horas semanais gastas em estudo por calouros, usando a tabela de frequências abaixo, quando a última classe “Mais de 20” for interpretada, em três hipóteses diferentes: (a)
, (b)
, (c)
. Lista das informações fornecidas (frequências):
- Classe
: frequência - Classe
: frequência - Classe
: frequência - Classe
: frequência - Classe
: frequência - Classe “Mais de 20”: frequência
(intervalo a ser assumido conforme cada hipótese)
O que precisamos devolver: a média aritmética aproximada da distribuição para cada uma das três hipóteses sobre o intervalo da última classe.
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (sem jargões): para dados agrupados em classes usamos a fórmula da média por classes, que substitui cada classe pelo seu ponto médio e calcula a média ponderada pelas frequências. A fórmula é
onde:
-
é o total de observações (número total de calouros entrevistados), -
é a frequência da -ésima classe, -
é o ponto médio (ou marca de classe) da -ésima classe.
Explicando
: se uma classe vai de
até
, o ponto médio é
. Para uma classe que contém um único valor (como
), o ponto médio é esse próprio valor,
.
Passo 3
Calcular o total de observações
. Somamos todas as frequências dadas:
Vamos somar passo a passo:
,
,
,
,
. Logo
Bom: temos
observações no total — número redondinho, isso facilita contas.
Passo 4
Calcular os pontos médios
das classes (exceto a última, que depende da hipótese). Para as classes dadas:
- Para a classe
: . - Para a classe
: . - Para a classe
: . - Para a classe
: . - Para a classe
: .
Vou calcular os produtos
dessas classes agora.
Passo 5
Calcular
para as classes cujo ponto médio já está certo:
- Classe
: - Classe
: (porque ) - Classe
: (pois ) - Classe
: - Classe
:
Somando esses cinco produtos (todas as classes exceto a última) temos:
Vamos somar:
,
,
. Portanto
Esse é o total parcial; falta adicionar a contribuição da última classe (6 observações times o ponto médio que depende da hipótese).
Passo 6
Caso (a): assumir que a última classe é
. Calcular ponto médio e média.
- Ponto médio da última classe:
- Produto
da última: - Soma total dos produtos:
- Aplicando a fórmula da média:
Fazendo a divisão:
Logo, na hipótese (a) a média é
horas por semana (aproximadamente
horas).
Passo 7
Caso (b): assumir que a última classe é
. Calcular ponto médio e média.
- Ponto médio da última classe:
- Produto
da última: (porque e , total ) - Soma total dos produtos:
- Média:
Portanto, na hipótese (b) a média é
horas por semana.
Passo 8
Caso (c): assumir que a última classe é
. Calcular ponto médio e média.
- Ponto médio da última classe:
- Produto
da última: (pois e ) - Soma total dos produtos:
- Média:
Assim, na hipótese (c) a média é
horas por semana.
Passo 9
Interpretação e conclusão (de prova): comparar os três resultados:
- (a)
- (b)
- (c)
A variação entre o menor e o maior valor é
hora, ou seja
minutos. Conclusão prática: como a última classe tem pouca frequência (
de
, isto é
ou
), a média não muda muito quando mudamos razoavelmente o intervalo da classe aberta. Em provas, é comum assumir um intervalo plausível para a classe aberta; se a frequência da classe aberta for pequena, a média estimada será robusta frente a essa suposição.
Resposta
(a)
horas por semana.
(b)
horas por semana.
(c)
horas por semana.