Quando os dados são resumidos em uma tabela de frequências, pode-se achar a mediana identificando primeiro a classe mediana (a classe que contém a mediana). Supomos então que os valores se distribuem uniformemente por toda a classe mediana e calculamos a mediana por interpolação.
Passo 1
O que o enunciado pede: aprender e mostrar, passo a passo, como encontrar a mediana quando os dados estão agrupados em uma tabela de frequências, usando a ideia de que os valores se distribuem uniformemente dentro da classe mediana e calculando a mediana por interpolação.
Informações relevantes fornecidas ou necessárias para aplicar o método:
- Temos classes (intervalos) com suas frequências.
- A soma das frequências é
(tamanho total da amostra). - A mediana é o valor que divide a amostra em duas metades, portanto está na posição
. - Precisamos da frequência acumulada antes da classe que contém a mediana (vou chamar de
), da frequência da classe mediana (vou chamar de ), do limite inferior da classe mediana (vou chamar de ) e da largura da classe mediana (vou chamar de ). - Pressuposto importante: dentro da classe mediana os dados distribuem-se uniformemente (isso é uma aproximação comum).
Passo 2
O que é a mediana e como achar sua posição:
- A mediana é o valor que deixa metade dos observações abaixo e metade acima. Para uma amostra com
observações, a posição “alvo” é . - Em dados agrupados só sabemos quantas observações caem em cada intervalo, então primeiro construímos as frequências acumuladas até encontrarmos a classe que contém a posição
. Essa classe é a chamada classe mediana. - Exemplo conceitual: se
, então a mediana é o número que ocupa a posição 22,5 — isto é, está na 23ª observação, considerando interpolação dentro da classe onde a acumulada passa de 22 para 23.
Passo 3
Como pensar na interpolação (a ideia geométrica/intuitiva):
- Dentro da classe mediana assumimos que as
observações estão espalhadas uniformemente ao longo do intervalo de largura . - Se precisamos avançar
observações dentro dessa classe (porque observações já estão antes da classe), a fração da classe que devemos percorrer é
- Multiplicando essa fração pela largura
obtemos a distância (em unidades da variável) a partir do limite inferior da classe até a posição da mediana dentro da classe. - Portanto a mediana aproximada (por interpolação linear) é
Passo 4
Explicação detalhada de cada símbolo da fórmula (para você decorar sem mistério):
-
= soma de todas as frequências (tamanho da amostra). -
= posição da mediana na ordenação (metade do total). -
= limite inferior da classe mediana (o início do intervalo que contém a mediana). -
= largura da classe mediana (diferença entre limite superior e limite inferior da classe). -
= frequência da classe mediana (quantas observações caem nessa classe). -
= frequência acumulada imediatamente antes da classe mediana (soma das frequências de todas as classes anteriores). - A expressão
é uma fração adimensional: representa a proporção da classe que devemos percorrer, multiplicada por dá uma distância em unidades da variável, adicionada a nos dá o valor da mediana.
Passo 5
Exemplo prático e completo (faça isso na prova!): tabela de frequências
Vou usar a tabela abaixo como exemplo (você pode substituir pelos dados da sua prova):
Vou usar a tabela abaixo como exemplo (você pode substituir pelos dados da sua prova):
Classe | Frequência
|
|
|
|
- Calcule
:
- Calcule a posição da mediana:
- Frequências acumuladas (até cada classe):
- Onde está a posição
? Ela fica na classe , porque antes dessa classe a acumulada é e depois é . Ou seja, (frequência acumulada antes da classe mediana), e a classe mediana tem . - Identifique
e para a classe mediana :
- Aplique a fórmula:
- Calcule passo a passo:
Portanto, pela interpolação linear a mediana aproximada é
.]
Passo 6
Observações úteis para a prova (dicas e armadilhas):
- Se as classes tiverem larguras diferentes, use o
da própria classe mediana (não tente um comum). - Se houver uma classe aberta (por exemplo, “
”), não dá para aplicar essa fórmula porque não há limite superior definido; aí você precisa de informação adicional ou outra abordagem. - A interpolação assume uniformidade dentro da classe — é uma aproximação. Se os dados forem muito assimétricos dentro da classe, o erro pode ser significativo.
- Sempre calcule e mostre claramente
, , as somas acumuladas até localizar a classe mediana, depois identifique , , e e aplique a fórmula. Isso deixa a correção feliz e evita perda de pontos.
Passo 7
Resumo prático rápido (roteiro para usar na prova, em 4 passos):
- Calcule
e . - Construa frequências acumuladas e localize a classe que contém
(essa é a classe mediana). - Anote
, , e . - Calcule
e simplifique.