Quando os dados são resumidos em uma tabela de frequências, pode-se achar a mediana identificando primeiro a classe mediana (a classe que contém a mediana). Supomos então que os valores se distribuem uniformemente por toda a classe mediana e calculamos a mediana por interpolação.

Passo 1

O que o enunciado pede: aprender e mostrar, passo a passo, como encontrar a mediana quando os dados estão agrupados em uma tabela de frequências, usando a ideia de que os valores se distribuem uniformemente dentro da classe mediana e calculando a mediana por interpolação.
Informações relevantes fornecidas ou necessárias para aplicar o método:
  • Temos classes (intervalos) com suas frequências.
  • A soma das frequências é n (tamanho total da amostra).
  • A mediana é o valor que divide a amostra em duas metades, portanto está na posição n/2.
  • Precisamos da frequência acumulada antes da classe que contém a mediana (vou chamar de F_b), da frequência da classe mediana (vou chamar de f_m), do limite inferior da classe mediana (vou chamar de L) e da largura da classe mediana (vou chamar de h).
  • Pressuposto importante: dentro da classe mediana os dados distribuem-se uniformemente (isso é uma aproximação comum).

Passo 2

O que é a mediana e como achar sua posição:
  • A mediana é o valor que deixa metade dos observações abaixo e metade acima. Para uma amostra com n observações, a posição “alvo” é \dfrac{n}{2}.
  • Em dados agrupados só sabemos quantas observações caem em cada intervalo, então primeiro construímos as frequências acumuladas até encontrarmos a classe que contém a posição \dfrac{n}{2}. Essa classe é a chamada classe mediana.
  • Exemplo conceitual: se \dfrac{n}{2}=22{,}5, então a mediana é o número que ocupa a posição 22,5 — isto é, está na 23ª observação, considerando interpolação dentro da classe onde a acumulada passa de 22 para 23.

Passo 3

Como pensar na interpolação (a ideia geométrica/intuitiva):
  • Dentro da classe mediana assumimos que as f_m observações estão espalhadas uniformemente ao longo do intervalo de largura h.
  • Se precisamos avançar \bigl(\dfrac{n}{2}-F_b\bigr) observações dentro dessa classe (porque F_b observações já estão antes da classe), a fração da classe que devemos percorrer é
\frac{\dfrac{n}{2}-F_b}{f_m}.
  • Multiplicando essa fração pela largura h obtemos a distância (em unidades da variável) a partir do limite inferior L da classe até a posição da mediana dentro da classe.
  • Portanto a mediana aproximada (por interpolação linear) é
\text{Mediana} = L + \frac{\dfrac{n}{2}-F_b}{f_m}\,h.

Passo 4

Explicação detalhada de cada símbolo da fórmula (para você decorar sem mistério):
  • n = soma de todas as frequências (tamanho da amostra).
  • \dfrac{n}{2} = posição da mediana na ordenação (metade do total).
  • L = limite inferior da classe mediana (o início do intervalo que contém a mediana).
  • h = largura da classe mediana (diferença entre limite superior e limite inferior da classe).
  • f_m = frequência da classe mediana (quantas observações caem nessa classe).
  • F_b = frequência acumulada imediatamente antes da classe mediana (soma das frequências de todas as classes anteriores).
  • A expressão \dfrac{\dfrac{n}{2}-F_b}{f_m} é uma fração adimensional: representa a proporção da classe que devemos percorrer, multiplicada por h dá uma distância em unidades da variável, adicionada a L nos dá o valor da mediana.

Passo 5

Exemplo prático e completo (faça isso na prova!): tabela de frequências
Vou usar a tabela abaixo como exemplo (você pode substituir pelos dados da sua prova):
Classe | Frequência
10{-}20 | 5
20{-}30 | 12
30{-}40 | 20
40{-}50 | 8
  • Calcule n:
n = 5 + 12 + 20 + 8 = 45.
  • Calcule a posição da mediana:
\dfrac{n}{2} = \dfrac{45}{2} = 22{,}5.
  • Frequências acumuladas (até cada classe):
\begin{array}{l} \text{até }10{-}20: \; F_1 = 5,\\[4pt] \text{até }20{-}30: \; F_2 = 5 + 12 = 17,\\[4pt] \text{até }30{-}40: \; F_3 = 17 + 20 = 37,\\[4pt] \text{até }40{-}50: \; F_4 = 37 + 8 = 45. \end{array}éééé
  • Onde está a posição 22{,}5? Ela fica na classe 30{-}40, porque antes dessa classe a acumulada é 17 e depois é 37. Ou seja, F_b = 17 (frequência acumulada antes da classe mediana), e a classe mediana tem f_m = 20.
  • Identifique L e h para a classe mediana 30{-}40:
L = 30,\qquad h = 40-30 = 10.
  • Aplique a fórmula:
\text{Mediana} = L + \frac{\dfrac{n}{2}-F_b}{f_m}\,h = 30 + \frac{22{,}5 - 17}{20}\cdot 10.
  • Calcule passo a passo:
22{,}5 - 17 = 5{,}5,
\frac{5{,}5}{20} = 0{,}275,
0{,}275 \cdot 10 = 2{,}75,
\text{Mediana} = 30 + 2{,}75 = 32{,}75.
Portanto, pela interpolação linear a mediana aproximada é 32{,}75.]

Passo 6

Observações úteis para a prova (dicas e armadilhas):
  • Se as classes tiverem larguras diferentes, use o h da própria classe mediana (não tente um h comum).
  • Se houver uma classe aberta (por exemplo, “ 100+”), não dá para aplicar essa fórmula porque não há limite superior definido; aí você precisa de informação adicional ou outra abordagem.
  • A interpolação assume uniformidade dentro da classe — é uma aproximação. Se os dados forem muito assimétricos dentro da classe, o erro pode ser significativo.
  • Sempre calcule e mostre claramente n, \dfrac{n}{2}, as somas acumuladas até localizar a classe mediana, depois identifique L, f_m, F_b e h e aplique a fórmula. Isso deixa a correção feliz e evita perda de pontos.

Passo 7

Resumo prático rápido (roteiro para usar na prova, em 4 passos):
  1. Calcule n e \dfrac{n}{2}.
  2. Construa frequências acumuladas e localize a classe que contém \dfrac{n}{2} (essa é a classe mediana).
  3. Anote L, h, f_m e F_b.
  4. Calcule \displaystyle \text{Mediana}=L+\frac{\dfrac{n}{2}-F_b}{f_m}\,h e simplifique.

Resposta

\text{Mediana} = L + \frac{\dfrac{n}{2}-F_b}{f_m}\,h
\text{Exemplo numérico: Mediana} = 32{,}75é

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