Determine a amplitude de vibração no topo do edifício de 2 andares sabendo que no primeiro andar existe um motor de combustão interna girando a 2250 rpm o qual provoca uma força de desbalanceamento igual a F(t)=500 \cos (\Omega t)+250 \cos (2 \Omega t) N.
considere: \mathrm{m}_{1}=7000 \mathrm{~kg}
\mathrm{k}_{1}=5 \times 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}
\mathrm{m}_{2}=8000 \mathrm{~kg} \quad \mathrm{k}_{2}=3 \times 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}

Passo 1

O problema pede: determinar a amplitude de vibração no topo do edifício de 2 andares (deslocamento do segundo andar, x_{2}(t)) quando no primeiro andar existe um motor que aplica a força de desbalanceamento
F(t)=500\cos(\Omega t)+250\cos(2\Omega t)\\ \mathrm{N}.
Dados fornecidos:
m_{1}=7000\\ \mathrm{kg},\quad k_{1}=5\times10^{5}\\ \mathrm{N/m},
m_{2}=8000\\ \mathrm{kg},\quad k_{2}=3\times10^{5}\\ \mathrm{N/m},
e a rotação do motor é 2250\\ \mathrm{rpm}, ou seja a frequência fundamental é \Omega=2\pi\cdot(2250/60)\\ \mathrm{rad/s}.\n
O que exatamente vou fornecer como resposta: as amplitudes (magnitudes) da resposta em x_{2} para cada componente harmônica (a de frequência \Omega e a de frequência 2\Omega). Estas duas componentes são linearmente independentes e a resposta total é a soma das duas oscilações forçadas; portanto devo calcular X_{2}(\Omega) e X_{2}(2\Omega) (amplitudes em regime permanente).

Passo 2

Modelo e equações de movimento (passo didático). Considere os deslocamentos horizontais \:x_{1}(t)\: (primeiro andar) e \:x_{2}(t)\: (segundo andar). As forças elásticas aparecem entre solo e massa m_{1} com rigidez k_{1}, e entre m_{1} e m_{2} com rigidez k_{2}. As equações de segunda ordem (equilíbrio de forças) para movimento horizontal são:
m_{1}\ddot{x}_{1} + (k_{1}+k_{2})x_{1} - k_{2}x_{2} = F(t),
m_{2}\ddot{x}_{2} - k_{2}x_{1} + k_{2}x_{2} = 0.
Explicação simples: cada massa tem sua inércia m\ddot{x} equilibrada pela soma das forças elásticas aplicadas; o sinal negativo aparece quando uma mola puxa numa direção oposta ao deslocamento considerado.

Passo 3

Forma matricial (para trabalhar com harmônicos é mais prático). Defino os vetores
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt] x_{2}\end{pmatrix},\quad \mathbf{F}(t)=\begin{pmatrix}F(t)\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Matriz massa \mathbf{M} e rigidez \mathbf{K}:
\mathbf{M}=\begin{pmatrix}m_{1} & 0\\[4pt]0 & m_{2}\end{pmatrix},\quad \mathbf{K}=\begin{pmatrix}k_{1}+k_{2} & -k_{2}\\[4pt]-k_{2} & k_{2}\end{pmatrix}.
Equação matricial:
\mathbf{M}\ddot{\mathbf{x}} + \mathbf{K}\mathbf{x} = \mathbf{F}(t).]

Passo 4

Resposta em regime permanente para excitação harmônica (a teoria básica). Para uma força harmônica \mathbf{F}(t)=\Re\{\mathbf{F}_{0} e^{i\omega t}\} a solução em regime permanente é \mathbf{x}(t)=\Re\{\mathbf{X}e^{i\omega t}\} com vetor de amplitudes complexas \mathbf{X} dado por
\left(\mathbf{K}-\omega^{2}\mathbf{M}\right)\mathbf{X}=\mathbf{F}_{0}.
Aqui \mathbf{K}-\omega^{2}\mathbf{M} é a matriz de rigidez dinâmica. No nosso problema cada termo da força é um cosseno puro; tratamos cada frequência separadamente e somamos os resultados (princípio da superposição linear).

Passo 5

Aplicação ao nosso sistema com força no primeiro grau de liberdade. Para uma excitação \;F(t)=F_{0}\cos(\omega t)\; temos \mathbf{F}_{0}=\begin{pmatrix}F_{0}\\[4pt]0\end{pmatrix}. Chamo \mathbf{D}(\omega)=\mathbf{K}-\omega^{2}\mathbf{M}. Então \mathbf{X}(\omega)=\mathbf{D}(\omega)^{-1}\mathbf{F}_{0}. Escrevendo a inversa explicitamente para 2×2, se
\mathbf{D}=\begin{pmatrix}D_{11} & D_{12}\\[4pt]D_{21} & D_{22}\end{pmatrix},
então, para \mathbf{F}_{0}=(F_{0},0)^{T},
X_{2}(\omega)=\frac{-D_{21}\,F_{0}}{\det(\mathbf{D})}.
No nosso caso D_{21}=-k_{2}, logo
X_{2}(\omega)=\frac{k_{2}\,F_{0}}{D_{11}D_{22}-k_{2}^{2}}.
Isto é uma fórmula muito prática: significa que a amplitude do segundo andar para uma força aplicada no primeiro depende de k_{2}, dos termos dinâmicos D_{11},D_{22} e do determinante.]

Passo 6

Expresse D_{11} e D_{22} explicitamente:
D_{11}=k_{1}+k_{2}-\omega^{2}m_{1},\qquad D_{22}=k_{2}-\omega^{2}m_{2}.
Portanto
X_{2}(\omega)=\frac{k_{2}F_{0}}{\big(k_{1}+k_{2}-\omega^{2}m_{1}\big)\big(k_{2}-\omega^{2}m_{2}\big)-k_{2}^{2}}.
Observação didática: em baixas frequências os termos -\omega^{2}m são pequenos e o denominador é dominado pelas combinações de k; em altas frequências os termos -\omega^{2}m dominam e o denominador cresce com \omega^{4}, fazendo a resposta cair rapidamente.

Passo 7

Calcule a frequência fundamental do motor (dado). A rotação é 2250\\ \mathrm{rpm}, então
\Omega=2\pi\cdot\frac{2250}{60}=2\pi\cdot 37{,}5=75\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 235{,}6194489\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 8

Vou calcular as amplitudes para as duas componentes separadamente:
  • Componente 1: \omega=\Omega e F_{0}=500\\ \mathrm{N}.
  • Componente 2: \omega=2\Omega e F_{0}=250\\ \mathrm{N}.
Para economia de contas e clareza, primeiro calcule \omega^{2} e, se necessário, \omega^{4}. Para \omega=\Omega:
\omega^{2}=(75\pi)^{2}=5625\pi^{2}\approx 55516{,}5248\\ \mathrm{(rad/s)}^{2}.
Para \omega=2\Omega temos (2\Omega)^{2}=4\Omega^{2} e (2\Omega)^{4}=16\Omega^{4}. Isto simplifica cálculos relativos entre as duas componentes.

Passo 9

Avaliação numérica dos termos do denominador (uso aproximado com as cifras dadas; explico cada passo):
Calcule D_{11} e D_{22} para \omega=\Omega:
D_{11}=k_{1}+k_{2}-\omega^{2}m_{1}=5\cdot10^{5}+3\cdot10^{5}-55516{,}5248\cdot7000.
O termo \omega^{2}m_{1}=55516{,}5248\times7000\approx 388615673{,}6.
Logo
D_{11}\approx 800000-388615673{,}6\approx -387815673{,}6\\ \mathrm{N/m}.
Calcule D_{22}:
D_{22}=k_{2}-\omega^{2}m_{2}=3\cdot10^{5}-55516{,}5248\cdot8000.
\omega^{2}m_{2}\approx 55516{,}5248\times8000\approx 444132198{,}4, logo
D_{22}\approx 300000-444132198{,}4\approx -443832198{,}4\\ \mathrm{N/m}.

Passo 10

Calcule o determinante para \omega=\Omega:
\det(\mathbf{D})=D_{11}D_{22}-k_{2}^{2}.
O produto D_{11}D_{22} é aproximadamente
D_{11}D_{22}\approx (-3{,}878156736\times10^{8})\times(-4{,}438321984\times10^{8}) \approx 1{,}721\times10^{17}.
O termo k_{2}^{2}=(3\cdot10^{5})^{2}=9\cdot10^{10} é muito menor que 1{,}7\times10^{17} e pode ser considerado desprezível neste caso de frequência alta; portanto
\det(\mathbf{D})\approx 1{,}721\times10^{17}\\ \mathrm{N^{2}/m^{2}}.
Agora a amplitude complexa (módulo aproximado) para \omega=\Omega, com F_{0}=500\\ \mathrm{N}:
X_{2}(\Omega)\approx\frac{k_{2}F_{0}}{\det(\mathbf{D})} =\frac{3\cdot10^{5}\times500}{1{,}721\times10^{17}} \approx 8{,}69\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 11

Para \omega=2\Omega podemos usar uma relação de escala prática: quando a frequência dobra, os termos -\omega^{2}m quadruplicam, e o determinante dominante escala cerca de \omega^{4} (ou seja, aumenta por um fator 16). Assim, mantendo a expressão aproximada válida,
X_{2}(2\Omega)\approx\frac{k_{2}F_{0,2}}{16\det(\mathbf{D}(\Omega))}\quad\text{(se }F_{0,2}\text{ for a amplitude na 2ª harmônica).}ªô
Aqui F_{0,2}=250\\ \mathrm{N}. Comparando com X_{2}(\Omega):
X_{2}(2\Omega)\approx X_{2}(\Omega)\times\frac{250/500}{16}=X_{2}(\Omega)\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{16}=X_{2}(\Omega)\times\frac{1}{32}.
Então com X_{2}(\Omega)\approx 8{,}69\times10^{-10}\\ \mathrm{m},
X_{2}(2\Omega)\approx 8{,}69\times10^{-10}\times\frac{1}{32}\approx 2{,}72\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.

Passo 12

Interpretação final (didática e encorajadora): as amplitudes obtidas são muito pequenas (ordem de 10^{-10} m), o que significa que, com as rigidezes e massas dadas, o sistema é muito rígido e as frequências de excitação são muito altas em relação às frequências naturais do edifício, produzindo deslocamentos praticamente desprezíveis. Não se preocupe com contas longas — a chave na prova é montar a matriz dinâmica, usar a inversa 2×2 e perceber a escala \omega^{4} no denominador para altas frequências.

Resposta

X_{2}(\Omega)\approx 8{,}69\times10^{-10}\\ \mathrm{m}
X_{2}(2\Omega)\approx 2{,}72\times10^{-11}\\ \mathrm{m}

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