Determine a amplitude de vibração no topo do edifício de 2 andares sabendo que no primeiro andar existe um motor de combustão interna girando a 2250 rpm o qual provoca uma força de desbalanceamento igual a
.
considere:
considere:
Passo 1
O problema pede: determinar a amplitude de vibração no topo do edifício de 2 andares (deslocamento do segundo andar,
) quando no primeiro andar existe um motor que aplica a força de desbalanceamento
Dados fornecidos:
e a rotação do motor é
, ou seja a frequência fundamental é
.\n
O que exatamente vou fornecer como resposta: as amplitudes (magnitudes) da resposta em para cada componente harmônica (a de frequência
e a de frequência
). Estas duas componentes são linearmente independentes e a resposta total é a soma das duas oscilações forçadas; portanto devo calcular
e
(amplitudes em regime permanente).
O que exatamente vou fornecer como resposta: as amplitudes (magnitudes) da resposta em
Passo 2
Modelo e equações de movimento (passo didático). Considere os deslocamentos horizontais
(primeiro andar) e
(segundo andar). As forças elásticas aparecem entre solo e massa
com rigidez
, e entre
e
com rigidez
. As equações de segunda ordem (equilíbrio de forças) para movimento horizontal são:
Explicação simples: cada massa tem sua inércia
equilibrada pela soma das forças elásticas aplicadas; o sinal negativo aparece quando uma mola puxa numa direção oposta ao deslocamento considerado.
Passo 3
Forma matricial (para trabalhar com harmônicos é mais prático). Defino os vetores
Matriz massa
e rigidez
:
Equação matricial:
Passo 4
Resposta em regime permanente para excitação harmônica (a teoria básica). Para uma força harmônica
a solução em regime permanente é
com vetor de amplitudes complexas
dado por
Aqui
é a matriz de rigidez dinâmica. No nosso problema cada termo da força é um cosseno puro; tratamos cada frequência separadamente e somamos os resultados (princípio da superposição linear).
Passo 5
Aplicação ao nosso sistema com força no primeiro grau de liberdade. Para uma excitação
temos
. Chamo
. Então
. Escrevendo a inversa explicitamente para 2×2, se
então, para
,
No nosso caso
, logo
Isto é uma fórmula muito prática: significa que a amplitude do segundo andar para uma força aplicada no primeiro depende de
, dos termos dinâmicos
e do determinante.]
Passo 6
Expresse
e
explicitamente:
Portanto
Observação didática: em baixas frequências os termos
são pequenos e o denominador é dominado pelas combinações de
; em altas frequências os termos
dominam e o denominador cresce com
, fazendo a resposta cair rapidamente.
Passo 7
Calcule a frequência fundamental do motor (dado). A rotação é
, então
Passo 8
Vou calcular as amplitudes para as duas componentes separadamente:
- Componente 1:
e . - Componente 2:
e .
Para economia de contas e clareza, primeiro calcule
e, se necessário,
. Para
:
Para
temos
e
. Isto simplifica cálculos relativos entre as duas componentes.
Passo 9
Avaliação numérica dos termos do denominador (uso aproximado com as cifras dadas; explico cada passo):
Calcule e
para
:
Calcule
O termo
.
Logo
Logo
Calcule
:
Passo 10
Calcule o determinante para
:
O produto
é aproximadamente
O termo
é muito menor que
e pode ser considerado desprezível neste caso de frequência alta; portanto
Agora a amplitude complexa (módulo aproximado) para
, com
:
Passo 11
Para
podemos usar uma relação de escala prática: quando a frequência dobra, os termos
quadruplicam, e o determinante dominante escala cerca de
(ou seja, aumenta por um fator
). Assim, mantendo a expressão aproximada válida,
Aqui
. Comparando com
:
Então com
,
Passo 12
Interpretação final (didática e encorajadora): as amplitudes obtidas são muito pequenas (ordem de
m), o que significa que, com as rigidezes e massas dadas, o sistema é muito rígido e as frequências de excitação são muito altas em relação às frequências naturais do edifício, produzindo deslocamentos praticamente desprezíveis. Não se preocupe com contas longas — a chave na prova é montar a matriz dinâmica, usar a inversa 2×2 e perceber a escala
no denominador para altas frequências.