Determine analiticamente, considerando que os condutores ideais, a capacitância e a indutância por unidade de comprimento, bem como a impedância característica e a velocidade de propagação de ondas eletromagnéticas nas seguintes linhas de transmissão:
guia coaxial, com condutores de raios a e b>a e dielétrico varepsilonr

Passo 1

O enunciado pede a capacitância por unidade de comprimento (C′), a indutância por unidade de comprimento (L′), a impedância característica (Z₀) e a velocidade de propagação (v) de uma linha coaxial com raio interno a, raio externo b e dielétrico de permissividade ε=ε₀εᵣ. Vamos usar as expressões de campo eletrostático e magnetostático em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Para achar C′, usamos a lei de Gauss para o campo elétrico no dielétrico: sabemos que, para carga por comprimento Q, o módulo do campo em ρ (a<ρ<b) é E(ρ)=Q/(2πρ ε). A diferença de potencial entre condutores é
V=integrala^bE(ρ),dρ=Q2piεlnba
Como C′=Q/V, obtemos
C=QV=2piεlnba=2piε₀εrlnba

Passo 3

Para L′, usamos a lei de Ampère para o campo magnético: para corrente I, em a<ρ<b temos B(ρ)=μ₀I/(2πρ). A energia magnética por comprimento é
Wm=integrala^bB^22μ₀2πρ,dρ=μ₀I^24πlnba
Como W_m=(1/2)L′I^2, segue
L=μ₀2πlnba

Passo 4

A impedância característica Z₀ é a raiz quadrada da razão L′/C′. Logo,
Z0=raizLC=raizμ₀2πlnba2π ε₀εrlnba=12πraizμ₀ε₀εrlnba

Passo 5

A velocidade de propagação v vem de v=1/√(L′C′). Como L′C′=μ₀ε₀ε_r, temos
v=1raizμ₀ε₀εr=craizεr,
onde c=1/√(μ₀ε₀) é a velocidade da luz no vácuo.

Resposta

C′ = $ \frac{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r}{\ln\frac{b}{a}} $, L′ = $ \frac{\mu_0}{2\pi} \ln\frac{b}{a} $, Z₀ = $ \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}} \ln\frac{b}{a} $, v = $ \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}} $.

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