Determine analiticamente, considerando que os condutores ideais, a capacitância e a indutância por unidade de comprimento, bem como a impedância característica e a velocidade de propagação de ondas eletromagnéticas nas seguintes linhas de transmissão:
par de condutores paralelos no ar, raio dos condutores a e distância de centro a centro d.

Passo 1

Temos uma linha de dois condutores cilíndricos paralelos no ar, cada um de raio a, com distância de centro a centro d. O que se pede é a capacitância por unidade de comprimento C', a indutância por unidade de comprimento L', a impedância característica Z0 e a velocidade de propagação v. Vamos usar eletrostática para calcular C', magnetostática (ou a relação L'C'=mu0varepsilon0) para L', e as definições padrão de Z0=raizL'/C' e v=1/raizL'C'.

Passo 2

Para achar C', imagine que cada fio carrega carga linear +lambda e -lambda. A diferença de potencial entre eles é dada por
V=lambdapivarepsilon0,arccosh!l(tfracd2ar)
Logo,
C'=lambdaV=pivarepsilon0arccosh!l(tfracd2ar)

Passo 3

Para L', usamos a dualidade eletromagnética ou a relação válida em linha sem perdas,
L'C'=mu0varepsilon0
Substituindo C' obtemos
L'=mu0varepsilon0,arccosh!l(tfracd2ar)pivarepsilon0=mu0pi,arccosh!l(tfracd2ar)

Passo 4

A impedância característica é
Z0=raizL'C'=1piraizmu0varepsilon0,arccosh!l(tfracd2ar)

Passo 5

Finalmente, a velocidade de propagação vale
v=1raizL'C'=1raizmu0varepsilon0,,
que no vácuo/ar é exatamente a velocidade da luz.

Resposta

C'=pivarepsilon0arccoshl(tfracd2ar), L'=mu0pi,arccoshl(tfracd2ar),
Z0=raizL'C'=1piraizmu0varepsilon0,arccoshl(tfracd2ar), v=1raizmu0varepsilon0

Exercícios relacionados