*16) Encontre as equações de Maxwell na forma integral, a partir dos teoremas de Gauss e Stokes e das equações de Maxwell na forma puntual.
ll ointS A cdot d S=integralV nabla cdot A d V & (Teorema de Gauss) ointC A cdot d l=integralS nabla times A cdot d S & (Teorema de Stokes)
Descreva o significado das equações na forma integral.

Passo 1

O enunciado pede para pegar as equações de Maxwell em forma pontual (diferencial) e usar os teoremas de Gauss e de Stokes para convertê-las em forma integral, além de explicar o significado físico de cada uma.

Passo 2

A partir de

e aplicando o Teorema de Gauss ( nablacdot D = rhon), temos:
$$
\oint_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} = \int_V \rho,dV = Q_{\rm enc}
$$
ou seja, a carga total dentro da superfície gera o fluxo de ointSAcdot dS=integralVnablacdotA,dV através dela.

Passo 3

Da equação
nablacdot B = 0
e pelo Teorema de Gauss segue:
$$
\oint_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = 0
$$
que diz que não existem monopólos magnéticos (o fluxo de ointS Bcdot dS = 0 é sempre nulo).

Passo 4

Da lei de Faraday em forma pontual:
nablatimes E = -partial Bpartial t
e aplicando o Teorema de Stokes ( ointCAcdot dl=integralSnablatimesAcdot dS), obtemos:
$$
\oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\int_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}
= -\frac{d}{dt}\int_S \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}
$$
mostrando que um fluxo magnético variável no tempo induz um campo elétrico circulante.

Passo 5

Da lei de Ampère–Maxwell em forma pontual:
nablatimes H = J + partial Dpartial t
e pelo Teorema de Stokes:
$$
\oint_C \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} + \int_S \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}
= I_{\rm enc} + \frac{d}{dt}\int_S \mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}
$$
indicando que correntes elétricas (livres) e variações do campo elétrico geram um campo magnético circulante.

Resposta

As equações de Maxwell na forma integral são:
ointS Dcdot dS = Qrm enc
ointS Bcdot dS = 0
ointC Ecdot dl = -ddtintegralS Bcdot dS
ointC Hcdot dl = Irm enc + ddtintegralS Dcdot dS
Significado físico:
  • Gauss para D: o fluxo elétrico por uma superfície fecha circu-la a carga interna.
  • Gauss para B: não existem cargas magnéticas isoladas.
  • Faraday: variação do fluxo magnético no tempo induz um campo elétrico em contorno.
  • Ampère–Maxwell: correntes elétricas e deslocamento elétrico produzem campo magnético circulante.

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