Determine a impedância total de um circuito com R =40 \Omega e XL =30 \Omega.

Passo 1

O que o exercício pede e quais dados temos. O enunciado pede a impedância total do circuito e fornece duas grandezas:
  • R = 40\\ \Omega (resistência, parte real da impedância).
  • X_L = 30\\ \Omega (reatância indutiva, parte imaginária da impedância).
Pergunta implícita: assumir que R e X_L estão em série (forma usual quando se dá apenas R e X_L). Então queremos a impedância equivalente dessa associação.

Passo 2

Conceito e representação complexa da impedância. Em regime senoidal a impedância combina a resistência (real) e a reatância (imaginária). Representa-se como um número complexo:
Z = R + jX_L,
onde:
  • Z é a impedância total (em ohms),
  • R é a resistência (parte real),
  • X_L é a reatância indutiva (parte imaginária),
  • j é a unidade imaginária ( j^2 = -1). (Em elétrica usa-se j em vez de i para evitar confusão com corrente.)

Passo 3

Escrever a impedância na forma retangular usando os valores dados. Substituindo R e X_L:
Z = 40 + j30\\ \Omega.
Isto já é uma resposta parcial (forma retangular). Agora vamos também obter a forma polar (módulo e ângulo), que é muito útil na prova e para multiplicar/dividir fasores.

Passo 4

Cálculo do módulo (magnitude) da impedância. A fórmula do módulo de um número complexo a + jb é
|Z| = \sqrt{a^2 + b^2}.
Aqui a=R e b=X_L. Portanto:
|Z| = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50\\ \Omega.
Observação didática: perceba que 30:40:50 forma um triângulo 3:4:5 escalado por 10, por isso o módulo sai inteiro e fácil de ver — ótimo truque para provas sem calculadora.

Passo 5

Cálculo do ângulo de fase (argumento) da impedância. O ângulo \varphi é dado por
\varphi = \arctan\!\left(\frac{X_L}{R}\right).
Substituindo:
\varphi = \arctan\!\left(\frac{30}{40}\right) = \arctan\!\left(\frac{3}{4}\right).
Como \frac{3}{4} pertence ao triângulo 3\!:\!4\!:\!5, o ângulo correspondente é aproximadamente 36{,}87^\circ. Em radianos isso dá cerca de 0{,}6435\\ \text{rad}, mas normalmente em circuitos se usa graus.

Passo 6

Interpretação física rápida (útil na prova). Ângulo positivo significa que a corrente está defasada para trás da tensão (comportamento indutivo): a tensão lidera a corrente num indutor. A magnitude 50\\ \Omega é a “resistência” efetiva que a combinação apresenta ao sinal alternado.

Passo 7

Resumo final das formas úteis para entregar na prova:
  • Forma retangular: Z = 40 + j30\\ \Omega.
  • Forma polar: |Z| = 50\\ \Omega,\\ \angle Z = 36{,}87^\circ.

Resposta

Z = 40 + j30\\ \Omega
|Z| = 50\\ \Omega,\\ \\ \angle Z = 36{,}87^\circ

Exercícios relacionados