Determine a impedância de um circuito com R =15 \Omega, XL =25 \Omega e XC =10 \Omega.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedido: determinar a impedância do circuito.
  • Dados fornecidos:
    • R=15\\ \Omega
    • X_L=25\\ \Omega
    • X_C=10\\ \Omega

Passo 2

Entender o que significa “impedância” e como ela é representada para um circuito com resistência e reatâncias. Breve aula (sem pânico, é tranquilo):
  • Impedância é a “resistência” que um circuito oferece a uma corrente alternada; usa-se número complexo para captar magnitude e diferença de fase entre tensão e corrente.
  • Em notação fasorial (ou complexa) escreve-se a impedância como
Z = R + jX,
onde:
  • R é a resistência (parte real),
  • X é a reatância equivalente (parte imaginária),
  • j é a unidade imaginária ( j^2=-1) usada em engenharia elétrica.
  • Para um circuito série contendo resistência, indutor e capacitor, a reatância total é a diferença entre a reatância indutiva e a capacitiva:
X = X_L - X_C.
(Nota didática: X_L costuma aumentar com a frequência e vale X_L=\omega L; X_C vale X_C=\dfrac{1}{\omega C}. Aqui já foram dados os valores numéricos.)

Passo 3

Calcular a reatância total usando os números dados:
X = X_L - X_C = 25\\ \Omega - 10\\ \Omega = 15\\ \Omega.

Passo 4

Montar a impedância em forma retangular (a forma mais direta):
Z = R + jX = 15 + j15\\ \Omega.
Explicando: isso significa que a parte real é 15\\ \Omega e a parte imaginária (reatância líquida) também é 15\\ \Omega.

Passo 5

Agora transformar para forma polar (magnitude e ângulo), que é muito útil para ver a intensidade e o desfasamento:
  • A magnitude (módulo) é dada por
|Z| = \sqrt{R^{2} + X^{2}}.
Substituindo:
|Z| = \sqrt{15^{2} + 15^{2}} = \sqrt{2\cdot 15^{2}} = 15\sqrt{2}.
  • Valor numérico aproximado:
15\sqrt{2}\approx 21{,}213\\ \Omega.

Passo 6

Calcular o ângulo de fase \varphi (entre tensão e corrente), que vem de
\varphi = \arctan\!\left(\frac{X}{R}\right).
Aqui:
\varphi = \arctan\!\left(\frac{15}{15}\right)=\arctan(1)=45^\circ=\frac{\pi}{4}\\ \text{rad}.
Interpretação simples: como X>0 (reatância indutiva líquida), a corrente está atrasada em relação à tensão por 45^\circ (ou a tensão adianta a corrente — escolha a interpretação que seu professor preferir).

Passo 7

Resumo das formas usuais de apresentar a impedância:
  • Forma retangular (útil para somas): Z=15 + j15\\ \Omega.
  • Forma polar (útil para multiplicações/divisões e ver desfasamento): Z=15\sqrt{2}\angle 45^\circ\\ \Omega, que numericamente é Z\approx 21{,}213\angle 45^\circ\\ \Omega.
Força aí — já está quase! Na prova, escreva primeiro a equação \;Z=R+j(X_L-X_C)\; e substitua os números, isso mostra que você entende o raciocínio.

Resposta

Z = 15 + j15\\ \Omega
Z = 15\sqrt{2}\angle 45^\circ\\ \Omega \approx 21{,}213\angle 45^\circ\\ \Omega

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