Seja W o plano x+2 y-z=0.
W é um subespaço de R^3 ? Em caso afirmativo, obtenha uma base para W.

Passo 1

O enunciado define o plano
W = (x,y,z)in R^3 mid x + 2y - z = 0
e pede para decidir se W é subespaço de R^3 e, em caso afirmativo, encontrar uma base de W. Vamos usar a teoria de subespaços (kernel de transformação linear) e parametrizear o plano para extrair uma base.

Passo 2

Uma maneira rápida de ver que W é subespaço é notar que
x+2y-z=0
é exatamente a condição ell(x,y,z)=0, onde
ellcolon R^3 to R, ell(x,y,z)=x+2y-z
Como o kernel de qualquer transformação linear é subespaço, concluímos que W=kerell é subespaço de R^3.

Passo 3

Para encontrar uma base, escrevemos um vetor genérico de como
sujeito a
Agora deixamos e livres, definindo

Passo 4

Substituindo em obtemos
Logo, todo vetor de é combinação linear de
e . Esses dois vetores são claramente LI em , pois nenhum múltiplo escalar de um coincide com o outro.

Resposta

Sim, W é subespaço de R^3.
Uma base de W é
-210, 101

Exercícios relacionados