Seja o plano . é um subespaço de ? Em caso afirmativo, obtenha uma base para .
Passo 1
O enunciado define o plano
e pede para decidir se é subespaço de e, em caso afirmativo, encontrar uma base de . Vamos usar a teoria de subespaços (kernel de transformação linear) e parametrizear o plano para extrair uma base.
Passo 2
Uma maneira rápida de ver que é subespaço é notar que
é exatamente a condição , onde
Como o kernel de qualquer transformação linear é subespaço, concluímos que é subespaço de .
Passo 3
Para encontrar uma base, escrevemos um vetor genérico de como
sujeito a
Agora deixamos e livres, definindo
Passo 4
Substituindo em obtemos
Logo, todo vetor de é combinação linear de e . Esses dois vetores são claramente LI em , pois nenhum múltiplo escalar de um coincide com o outro.