Determine o ângulo entre:
e
Passo 1
O que o problema pede: determinar o ângulo entre as duas retas (na verdade entre dois planos) dados por
e
Informações fornecidas: as duas equações de planos acima. A pergunta clara é: qual é o ângulo entre
e
?
Passo 2
Observação importante (sem resolver ainda): cada plano na forma
tem um vetor normal obtido pelos coeficientes
. Esse vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Portanto, para
o vetor normal é
e para
o vetor normal é
Esses vetores nós já podemos extrair diretamente dos coeficientes das variáveis nas equações dos planos.
Passo 3
Conceito que vamos usar: o ângulo entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre os seus vetores normais. Para vetores
e
em
temos a fórmula do produto escalar (dot product):
e a relação geométrica
onde
é o comprimento (norma) de
e
é o ângulo entre
e
. Aplicando isso aos normais
e
obtemos
onde usamos o valor absoluto no numerador para garantir o ângulo agudo (entre
e
), que é a convenção usual para “o ângulo entre planos”.
Passo 4
Calcular o produto escalar
. Usando
e
,
Fazendo as contas passo a passo:
logo
Passo 5
Calcular as normas
e
.
Para
:
Para
:
Passo 6
Usar a fórmula do cosseno do ângulo:
Portanto o ângulo entre os planos é
Se você quer uma aproximação em graus, calculando numericamente
e tomando arco-cosseno, obtemos aproximadamente