Determine o ângulo entre:
\pi_{1}: x+y-z+3=0 e \pi_{2}: 3 x-y+z=0

Passo 1

O que o problema pede: determinar o ângulo entre as duas retas (na verdade entre dois planos) dados por
\pi_{1}: x+y-z+3=0
e
\pi_{2}: 3x-y+z=0.
Informações fornecidas: as duas equações de planos acima. A pergunta clara é: qual é o ângulo entre \pi_{1} e \pi_{2}?

Passo 2

Observação importante (sem resolver ainda): cada plano na forma ax+by+cz+d=0 tem um vetor normal obtido pelos coeficientes (a,b,c). Esse vetor normal é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Portanto, para
\pi_{1}: x+y-z+3=0
o vetor normal é
\mathbf{n}_1=(1,1,-1),
e para
\pi_{2}: 3x-y+z=0
o vetor normal é
\mathbf{n}_2=(3,-1,1).
Esses vetores nós já podemos extrair diretamente dos coeficientes das variáveis nas equações dos planos.

Passo 3

Conceito que vamos usar: o ângulo entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre os seus vetores normais. Para vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em \mathbb{R}^3 temos a fórmula do produto escalar (dot product):
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3,
e a relação geométrica
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta,
onde \|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2} é o comprimento (norma) de \mathbf{u} e \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}. Aplicando isso aos normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 obtemos
\cos\theta=\frac{|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2|}{\|\mathbf{n}_1\|\,\|\mathbf{n}_2\|},
onde usamos o valor absoluto no numerador para garantir o ângulo agudo (entre 0 e \tfrac{\pi}{2}), que é a convenção usual para “o ângulo entre planos”.

Passo 4

Calcular o produto escalar \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2. Usando \mathbf{n}_1=(1,1,-1) e \mathbf{n}_2=(3,-1,1),
\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 = 1\cdot 3 + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot 1.
Fazendo as contas passo a passo:
1\cdot 3 = 3,\qquad 1\cdot(-1)=-1,\qquad (-1)\cdot 1=-1,
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\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 = 3-1-1 = 1.

Passo 5

Calcular as normas \|\mathbf{n}_1\| e \|\mathbf{n}_2\|.
Para \mathbf{n}_1=(1,1,-1):
\|\mathbf{n}_1\|=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.
Para \mathbf{n}_2=(3,-1,1):
\|\mathbf{n}_2\|=\sqrt{3^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}.

Passo 6

Usar a fórmula do cosseno do ângulo:
\cos\theta=\frac{|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2|}{\|\mathbf{n}_1\|\,\|\mathbf{n}_2\|}=\frac{|1|}{\sqrt{3}\,\sqrt{11}}=\frac{1}{\sqrt{33}}.
Portanto o ângulo entre os planos é
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{33}}\right).
Se você quer uma aproximação em graus, calculando numericamente \frac{1}{\sqrt{33}}\approx 0,174077656 e tomando arco-cosseno, obtemos aproximadamente
\theta\approx 79,98^\circ.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{33}}\right)\approx 79,98^\circ

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