Determine o ângulo entre
e
nos seguintes casos:
e
.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede o ângulo entre
e
. Aqui será adotada a interpretação usual:
é o vetor unitário (normalizado) na direção de
e
é o vetor unitário na direção de
. Logo, o que se pede é o ângulo entre as direções de
e de
.
Passo 2
Conceito-chave (passo-a-passo): para dois vetores quaisquer
e
, o produto escalar satisfaz
onde:
-
é o produto escalar (ou ponto) entre e , -
é o comprimento (norma) de , -
é o comprimento de , -
é o ângulo entre e , com .
Explicando cada peça: dado
e
,
e a norma é
No caso de vetores unitários
e
, a fórmula dá
ou seja, o ângulo entre vetores unitários é o mesmo que entre os vetores originais (a normalização cancela nos denominadores).
Passo 3
Calcular o produto escalar
. Usando
e
,
Passo 4
Calcular as normas
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Aplicar a fórmula do produto escalar para obter
. Como discutido, o ângulo entre
e
é o mesmo que entre
e
. Então
Reconhece-se que
.
Passo 6
Determinar
a partir de
. O valor conhecido de cosseno que corresponde a isso é
Em graus isso é
.