Determine o ângulo entre overrightarrow{u^{\prime}} e overrightarrow{v^{\prime}} nos seguintes casos:
\vec{u}=(0,2) e \vec{v}=(-1,-1).

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(0,2) e \vec{v}=(-1,-1) e pede o ângulo entre \overrightarrow{u^{\prime}} e \overrightarrow{v^{\prime}}. Aqui será adotada a interpretação usual: \overrightarrow{u^{\prime}} é o vetor unitário (normalizado) na direção de \vec{u} e \overrightarrow{v^{\prime}} é o vetor unitário na direção de \vec{v}. Logo, o que se pede é o ângulo entre as direções de \vec{u} e de \vec{v}.

Passo 2

Conceito-chave (passo-a-passo): para dois vetores quaisquer \vec{a} e \vec{b}, o produto escalar satisfaz
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta,
onde:
  • \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar (ou ponto) entre \vec{a} e \vec{b},
  • \|\vec{a}\| é o comprimento (norma) de \vec{a},
  • \|\vec{b}\| é o comprimento de \vec{b},
  • \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}, com 0\le\theta\le\pi.
Explicando cada peça: dado \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2,
e a norma é
\|\vec{a}\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.
No caso de vetores unitários \vec{a}'=\dfrac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|} e \vec{b}'=\dfrac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|}, a fórmula dá
\vec{a}'\cdot\vec{b}'=\cos\theta,
ou seja, o ângulo entre vetores unitários é o mesmo que entre os vetores originais (a normalização cancela nos denominadores).

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v}. Usando \vec{u}=(0,2) e \vec{v}=(-1,-1),
\vec{u}\cdot\vec{v}=0\cdot(-1)+2\cdot(-1)=0-2=-2.

Passo 4

Calcular as normas \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|.
Para \vec{u}=(0,2):
\|\vec{u}\|=\sqrt{0^2+2^2}=\sqrt{4}=2.
Para \vec{v}=(-1,-1):
\|\vec{v}\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do produto escalar para obter \cos\theta. Como discutido, o ângulo entre \overrightarrow{u^{\prime}} e \overrightarrow{v^{\prime}} é o mesmo que entre \vec{u} e \vec{v}. Então
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} =\frac{-2}{2\cdot\sqrt{2}}=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}.
Reconhece-se que -\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Determinar \theta a partir de \cos\theta=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}. O valor conhecido de cosseno que corresponde a isso é
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{3\pi}{4}.
Em graus isso é \theta=135^\circ.

Resposta

\theta=\dfrac{3\pi}{4}=135^\circ

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