Verifique se
e
são ortogonais (perpendiculares) nos seguintes casos:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os vetores são ortogonais (perpendiculares). As informações dadas são:
Passo 2
O que significa “ortogonais” aqui e como testar na prova (explicação didática): dois vetores no plano são ortogonais se o ângulo entre eles for
. Um teste algébrico prático e rápido é usar o produto escalar (ou produto interno) entre vetores: se o produto escalar for zero, então os vetores são ortogonais; se for diferente de zero, não são.
Fórmula do produto escalar para vetores em coordenadas cartesianas: para
e
tem-se
Aqui
são as componentes (coord.) dos vetores nas direções
e
. A razão: o produto escalar incorpora a projeção e o cosseno do ângulo; quando o ângulo é
, o cosseno vale zero, então o produto escalar é zero.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: sejam
e
. Calcula-se
Passo 4
Fazendo as contas passo a passo:
Somando:
Passo 5
Interpretação do resultado: como
e
, os vetores NÃO são ortogonais (não são perpendiculares). No exame, esse é o critério direto: produto escalar diferente de zero → não são perpendiculares.
Passo 6
Verificação alternativa (útil na prova): para vetores não verticais, o produto das inclinações (declividades) ser igual a
também indica perpendicularidade. Aqui as inclinações são
- inclinação de
: , - inclinação de
: .
Produto
, confirmando que não são perpendiculares.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar a ideia:
e
têm
, logo são ortogonais. Dica de prova: calcule o produto escalar; é rápido e seguro.
Resposta
Não.