Verifique se \vec{u} e \vec{v} são ortogonais (perpendiculares) nos seguintes casos:
\vec{u}=(5,4) e \vec{v}=(-2,3).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores são ortogonais (perpendiculares). As informações dadas são:
  • \vec{u}=(5,4)
  • \vec{v}=(-2,3)

Passo 2

O que significa “ortogonais” aqui e como testar na prova (explicação didática): dois vetores no plano são ortogonais se o ângulo entre eles for 90^\circ. Um teste algébrico prático e rápido é usar o produto escalar (ou produto interno) entre vetores: se o produto escalar for zero, então os vetores são ortogonais; se for diferente de zero, não são.
Fórmula do produto escalar para vetores em coordenadas cartesianas: para \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2) tem-se
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2.
Aqui a_1,a_2,b_1,b_2 são as componentes (coord.) dos vetores nas direções x e y. A razão: o produto escalar incorpora a projeção e o cosseno do ângulo; quando o ângulo é 90^\circ, o cosseno vale zero, então o produto escalar é zero.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: sejam \vec{u}=(5,4) e \vec{v}=(-2,3). Calcula-se
\vec{u}\cdot\vec{v}=5\cdot(-2)+4\cdot 3.

Passo 4

Fazendo as contas passo a passo:
  • 5\cdot(-2) = -10
  • 4\cdot 3 = 12
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{v} = -10 + 12 = 2.

Passo 5

Interpretação do resultado: como \vec{u}\cdot\vec{v}=2 e 2\neq 0, os vetores NÃO são ortogonais (não são perpendiculares). No exame, esse é o critério direto: produto escalar diferente de zero → não são perpendiculares.

Passo 6

Verificação alternativa (útil na prova): para vetores não verticais, o produto das inclinações (declividades) ser igual a -1 também indica perpendicularidade. Aqui as inclinações são
  • inclinação de \vec{u}: m_u=\dfrac{4}{5},
  • inclinação de \vec{v}: m_v=\dfrac{3}{-2}=-\dfrac{3}{2}.
Produto m_u m_v = \dfrac{4}{5}\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{12}{10} = -\dfrac{6}{5}\neq -1, confirmando que não são perpendiculares.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar a ideia: \vec{a}=(1,0) e \vec{b}=(0,1) têm \vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot0+0\cdot1=0, logo são ortogonais. Dica de prova: calcule o produto escalar; é rápido e seguro.

Resposta

Não. \vec{u}\cdot\vec{v}=2\neq0

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