Determine o ângulo (entre 0 e π ) entre os seguintes vetores de R^3 :
(1,0,0) e (1,1,1)

Passo 1

Vamos descobrir o ângulo entre os vetores (1, 0, 0) e (1, 1, 1) no espaço tridimensional R^3. Para isso, vamos usar a fórmula do produto escalar, que relaciona vetores e o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o produto escalar. Se tivermos dois vetores u e v, o produto escalar é calculado assim:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Esse produto também pode ser relacionado ao ângulo entre os vetores pela fórmula:
u cdot v = |u| |v| cos(theta)
onde |u| e |v| são as magnitudes dos vetores e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar dos vetores (1, 0, 0) e (1, 1, 1). Usando a fórmula do produto escalar:
u cdot v = 1 cdot 1 + 0 cdot 1 + 0 cdot 1 = 1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as magnitudes dos vetores. A magnitude de um vetor u = (u1, u2, u3) é dada por:
|u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2

Passo 5

Calculando a magnitude do primeiro vetor (1, 0, 0):
|u| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = raiz1 = 1

Passo 6

Calculando a magnitude do segundo vetor (1, 1, 1):
|v| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3

Passo 7

Agora, substituímos os valores na fórmula do produto escalar relacionado ao ângulo:
1 = 1 cdot raiz3 cdot cos(theta)

Passo 8

Para encontrar cos(theta), isolamos na equação:
cos(theta) = 1raiz3

Passo 9

Finalmente, para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(1raiz3)

Resposta

O ângulo entre os vetores (1,0,0) e (1,1,1) é arccos(1raiz3) radianos, aproximadamente 0.955 radianos.

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