Determine o ângulo (entre 0 e π ) entre os seguintes vetores de R^3 :
(1,0,0) e (1,1,0)

Passo 1

Beleza, a gente precisa descobrir o ângulo entre os vetores (1,0,0) e (1,1,0) no espaço tridimensional R^3. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar e as magnitudes dos vetores. A ideia é aplicar a fórmula que relaciona o produto escalar com o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos dois vetores. O produto escalar entre dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso aos nossos vetores:
(1,0,0) cdot (1,1,0) = (1)(1) + (0)(1) + (0)(0) = 1 + 0 + 0 = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores. A magnitude de um vetor v = (v1, v2, v3) é dada por:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
Calculando para cada vetor:
|a| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = raiz1 = 1
|b| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores:
a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta)
Já temos todos os valores calculados:
1 = (1) cdot (raiz2) cdot cos(theta)

Passo 5

Vamos isolar o cos(theta) na equação:
cos(theta) = 1raiz2
Para achar o ângulo theta, aplicamos a função arco cosseno:
theta = arccos(1raiz2)
Sabemos que arccos(1raiz2) = pi4 radianos (ou 45 graus).

Resposta

O ângulo entre os vetores (1,0,0) e (1,1,0) é pi4 radianos.

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