Determine o ângulo entre os planos π_{1} e π_{2} :
π_{1}: 2 x-y+3 z+3=0 \quad e \quad π_{2}: X=(0,1,2)+λ(3,1,2)+μ(1,0,-1), λ, μ ∈ ℝ.

Passo 1

Estamos querendo o ângulo entre os planos \pi_{1}:2x - y + 3z + 3 = 0 e \pi_{2} dado pelo ponto (0,1,2) e direções \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2}.
Conteúdo: geometria analítica de planos. Vamos extrair vetores normais e usar produto interno para achar o ângulo.

Passo 2

Do plano \pi_{1}:2x - y + 3z + 3 = 0 o vetor normal é simplesmente os coeficientes de x,y,z.
\mathbf{n}_{1} = (2,\,-1,\,3).

Passo 3

No plano \pi_{2} as direções são
\mathbf{v}_{1} = (3,\,1,\,2), \quad \mathbf{v}_{2} = (1,\,0,\,-1).
O normal de \pi_{2} é o produto vetorial \mathbf{n}_{2} = \mathbf{v}_{1} \times \mathbf{v}_{2}.
\mathbf{n}_{2} = (3,1,2)\times(1,0,-1) = (-1,\,5,\,-1).

Passo 4

O ângulo \theta entre planos é o ângulo entre \mathbf{n}_{1} e \mathbf{n}_{2}, dado por
\cos\theta = \frac{\bigl|\mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{n}_{2}\bigr|}{\|\mathbf{n}_{1}\|\;\|\mathbf{n}_{2}\|}.

Passo 5

Calculamos produto interno e normas:
\mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{n}_{2} =2\cdot(-1)+(-1)\cdot5+3\cdot(-1)=-10,
\|\mathbf{n}_{1}\|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+3^{2}}=\sqrt{14}, \quad \|\mathbf{n}_{2}\|=\sqrt{(-1)^{2}+5^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{27}.
Logo
\cos\theta = \frac{10}{\sqrt{14}\,\sqrt{27}} = \frac{10}{\sqrt{378}} = \frac{10}{3\sqrt{42}}.
Portanto
\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{10}{3\sqrt{42}}\Bigr) \approx 59{,}1^\circ.

Resposta

\displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{10}{3\sqrt{42}}\Bigr)\approx 59{,}1^\circ.

Exercícios relacionados