Resolução de 23: Das equações simétricas das retas r e t fornecidas temos:
O vetor
\overrightarrow{\mathrm{u}}=(3,-2,-1) como vetor diretor de r e
\mathrm{B}(-1,-3,2) como um de seus pontos. Logo, um ponto P genérico de r é da forma
\mathrm{P}=(-1,-3,2)+\lambda(3,-2,-1)=(-1+3 \lambda,-3-2 \lambda, 2-\lambda) \text { com } \lambda \in \mathbb{R} \text {. }
O vetor
\vec{v}=(2,3,-5) como vetor diretor de
\mathrm{t} e \mathrm{C}(2,-1,1) como um de seus pontos. Logo, um ponto Q genérico de t é da forma
\mathrm{Q}=(2,-1,1)+\mu(2,3,-5)=(2+2 \mu,-1+3 \mu, 1-5 \mu) \text { сот } \mu \in \mathbb{R} с о т
Determinemos valores
\lambda e \mu de tal modo que existam
\mathrm{P} e \mathrm{Q} alinhados a A , ou seja, busquemos
\lambda e \mu tal que
\overrightarrow{\mathrm{AP}} seja paralelo a
\overrightarrow{\mathrm{AQ}} , o que equivale à existência de
\alpha \in \mathbb{R} tal que
\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AQ}} .
Vejamos:
\begin{aligned} & \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\mathrm{P}-\mathrm{A}=(-1+3 \lambda,-3-2 \lambda, 2-\lambda)-(-4,-5,3)=(3+3 \lambda, 2-2 \lambda,-1-\lambda) \\\ & \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\mathrm{Q}-\mathrm{A}=(2+2 \mu,-1+3 \mu, 1-5 \mu)-(-4,-5,3)=(6+2 \mu, 4+3 \mu,-2-5 \mu) \end{aligned}
D e \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{AQ}} temos
(3+3 \lambda, 2-2 \lambda,-1-\lambda)=\alpha(6+2 \mu, 4+3 \mu,-2-5 \mu) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} 3+3 \lambda=\alpha(6+2 \mu) \\\\ 2-2 \lambda=\alpha(4+3 \mu) \\\\ -1-\lambda=\alpha(-2-5 \mu) \end{array}\right.
Trata-se de um sistema não linear nas incógnitas
\alpha, \lambda e \mu que pode ser resolvido por meio de substituições de incógnitas. Entretanto, não vamos fazer isso, pois uma solução óbvia é
\lambda=\mu=0 e
\alpha=\frac{1}{2} (verifique!). Desta forma, há uma reta s que passa pelos pontos
\mathrm{P}(-1,-3,2) \in \mathrm{r} e \mathrm{Q}=(2,-1,1) \in \mathrm{t} e contém o ponto
\mathrm{A}(-4,-5,3) . Tomando
\vec{w}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\mathrm{Q}-\mathrm{P}=(3,2,-1) como vetor diretor de s , temos a equação vetorial
s:(x, y, z)=(-4,-5,3)+\tau(3,2,-1), \tau \in \mathbb{R}