Determine o ângulo entre:
r: X=(1,2,3)+\lambda(1,1,1), \lambda \in \mathbb{R} e s: X=(1,1,1)+t(1,-2,-3), t \in \mathbb{R}

Passo 1

O problema pede: determinar o ângulo entre as duas retas r e s.
Informações dadas:
r:\; X=(1,2,3)+\lambda(1,1,1),\quad \lambda\in\mathbb{R}
s:\; X=(1,1,1)+t(1,-2,-3),\quad t\in\mathbb{R}
Pergunta explícita: qual é o ângulo entre r e s? (ou seja, o valor de \theta entre as direções das retas)

Passo 2

O que significa “ângulo entre duas retas” e como vamos calcular?
Quando temos retas dadas em forma paramétrica como acima, a direção de cada reta vem do vetor diretor que multiplica o parâmetro. Se chamarmos esses vetores de \mathbf{u} e \mathbf{v}, o ângulo \theta entre as retas é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}, escolhido no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}] (ou seja, o ângulo agudo). A fórmula fundamental que usamos é a do produto escalar:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\| \cos\theta.
Aqui:
  • \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar (soma dos produtos das componentes correspondentes).
  • \|\mathbf{u}\| é a norma (ou comprimento) do vetor \mathbf{u}, calculada por \|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
  • \theta é o ângulo entre os vetores. Para obter o ângulo agudo entre as retas tomamos \cos\theta = \dfrac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|} (valor absoluto garante o ângulo em [0,\tfrac{\pi}{2}]).
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Identificar os vetores diretores das retas a partir das equações paramétricas.
Da reta r o vetor diretor é o coeficiente de \lambda:
\mathbf{u}=(1,1,1).
Da reta s o vetor diretor é o coeficiente de t:
\mathbf{v}=(1,-2,-3).

Passo 4

Calcular o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}. Usamos a definição \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 1\cdot 1 + 1\cdot(-2) + 1\cdot(-3) = 1 - 2 - 3 = -4.

Passo 5

Calcular as normas \|\mathbf{u}\| e \|\mathbf{v}\|.
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.

Passo 6

Aplicar a fórmula do cosseno com valor absoluto para obter o ângulo agudo:
\cos\theta = \frac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|} = \frac{|{-4}|}{\sqrt{3}\,\sqrt{14}} = \frac{4}{\sqrt{42}}.
Expliquei por que coloquei valor absoluto: o produto escalar deu negativo ( -4), mas o ângulo entre retas é o ângulo agudo, então tomamos o módulo do produto escalar.

Passo 7

Podemos escrever \theta de duas maneiras equivalentes úteis: diretamente com arco-cosseno ou usando arco-tangente (às vezes a forma com tangente simplifica a aproximação numérica). Primeiro a forma direta:
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{4}{\sqrt{42}}\right).
Uma simplificação interessante (útil para cálculo) vem de notar que
\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta = 1 - \frac{16}{42} = \frac{26}{42} = \frac{13}{21},
portanto
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\sqrt{13/21}}{4/\sqrt{42}} = \frac{\sqrt{26}}{4}.
Logo também
\theta = \arctan\!\left(\frac{\sqrt{26}}{4}\right).

Passo 8

Calcular uma aproximação numérica para usar na prova (graus). Usando \theta=\arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{26}}{4}\right) e \sqrt{26}\approx 5{,}0990195 temos \dfrac{\sqrt{26}}{4}\approx 1{,}2747549. Então
\theta \approx \arctan(1{,}2747549) \approx 51{,}84^\circ.
(Se preferir em radianos: \theta \approx 0{,}905 rad, mas normalmente em geometria usamos graus.)

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{4}{\sqrt{42}}\right)\approx 51{,}84^\circ

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