Determine o ângulo entre:
e
Passo 1
O problema pede: determinar o ângulo entre as duas retas
e
.
Informações dadas:
Pergunta explícita: qual é o ângulo entre
e
? (ou seja, o valor de
entre as direções das retas)
Passo 2
O que significa “ângulo entre duas retas” e como vamos calcular?
Quando temos retas dadas em forma paramétrica como acima, a direção de cada reta vem do vetor diretor que multiplica o parâmetro. Se chamarmos esses vetores de e
, o ângulo
entre as retas é o ângulo entre
e
, escolhido no intervalo
(ou seja, o ângulo agudo). A fórmula fundamental que usamos é a do produto escalar:
Quando temos retas dadas em forma paramétrica como acima, a direção de cada reta vem do vetor diretor que multiplica o parâmetro. Se chamarmos esses vetores de
Aqui:
-
é o produto escalar (soma dos produtos das componentes correspondentes). -
é a norma (ou comprimento) do vetor , calculada por . -
é o ângulo entre os vetores. Para obter o ângulo agudo entre as retas tomamos (valor absoluto garante o ângulo em ).
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Identificar os vetores diretores das retas a partir das equações paramétricas.
Da reta o vetor diretor é o coeficiente de
:
Da reta
Da reta
o vetor diretor é o coeficiente de
:
Passo 4
Calcular o produto escalar
. Usamos a definição
.
Passo 5
Calcular as normas
e
.
Passo 6
Aplicar a fórmula do cosseno com valor absoluto para obter o ângulo agudo:
Expliquei por que coloquei valor absoluto: o produto escalar deu negativo (
), mas o ângulo entre retas é o ângulo agudo, então tomamos o módulo do produto escalar.
Passo 7
Podemos escrever
de duas maneiras equivalentes úteis: diretamente com arco-cosseno ou usando arco-tangente (às vezes a forma com tangente simplifica a aproximação numérica). Primeiro a forma direta:
Uma simplificação interessante (útil para cálculo) vem de notar que
portanto
Logo também
Passo 8
Calcular uma aproximação numérica para usar na prova (graus). Usando
e
temos
. Então
(Se preferir em radianos:
rad, mas normalmente em geometria usamos graus.)