Determinar o ângulo da reta que passa por A=(-1,2,3) e B=(7,2,-3) forma com a sua projeção ortogonal no plano x y.
Passo 1
O enunciado dá dois pontos no espaço: A = (-1,2,3) e B = (7,2,-3).
A pergunta é: determinar o ângulo que a reta que passa por A e B forma com a sua projeção ortogonal no plano xy.
Informações relevantes dadas: as coordenadas de A e B.
Passo 2
Primeiro passo técnico: obter o vetor diretor da reta que passa por A e B. Isso se faz subtraindo as coordenadas de A das de B, componente a componente. Seja \mathbf{v} o vetor diretor,
Explicação didática: subtrair as componentes significa que a componente x do vetor é a diferença entre as abscissas, a componente y é a diferença entre as ordenadas e a componente z é a diferença entre as cotas.
Passo 3
Agora precisamos da projeção ortogonal da reta no plano xy. Geometricamente, a projeção ortogonal da reta no plano xy tem vetor diretor obtido projetando \mathbf{v} ortogonalmente nesse plano: isso equivale a zerar a componente z do vetor e manter x e y. Denotando \mathbf{p} essa projeção,
\mathbf{p} = (\,8,\;0,\;0\,).
Observação didática: a projeção ortogonal no plano xy remove apenas a componente vertical (z) porque o plano xy é o conjunto de pontos com z=0.
Passo 4
Para obter o ângulo entre a reta e sua projeção usamos o ângulo entre os vetores \mathbf{v} e \mathbf{p}. A fórmula padrão para o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} é
onde \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar e \|\mathbf{a}\| é a norma (módulo) do vetor \mathbf{a}. Explicando: o produto escalar mede quanto os vetores “apontam na mesma direção” e as normas normalizam para termos um valor entre -1 e 1.
Passo 5
Calcular o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{p}. Com \mathbf{v}=(8,0,-6) e \mathbf{p}=(8,0,0),
Comentário didático: norma é a “comprimento” do vetor, calculada pela raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes (teorema de Pitágoras em várias dimensões).
Verificação rápida (intuitiva): a componente vertical absoluta é |-6|=6 e \|\mathbf{v}\|=10, logo \sin\theta = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}, que é compatível com \cos\theta=\dfrac{4}{5} por \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.