Determine o ângulo que a reta r:\left\{\begin{array}{r}x-y+3 z-6=0 \\\\ 3 x-2 y+z-4=0\end{array}\right. forma com o eixo das cotas.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo que a reta r\) forma com o eixo das cotas (eixo \(z\)). As informações dadas são as equações das duas superfícies que definem a reta: \[\begin{cases} x - y + 3z - 6 = 0,\\[4pt] 3x - 2y + z - 4 = 0. \end{cases}
Esses dois planos se intersectam em uma reta r\]. O objetivo final é encontrar o ângulo entre essa reta \(r e o eixo z.]

Passo 2

Primeiro conceito que precisamos: a direção de uma reta definida como interseção de dois planos é perpendicular aos vetores normais desses planos. Se uma equação de plano tem forma ax+by+cz+d=0, então o vetor normal do plano é (a,b,c). Vou extrair os vetores normais dos dois planos dados.

Passo 3

Do primeiro plano x-y+3z-6=0 obtemos o vetor normal
\mathbf{n}_1=(1,-1,3).
Do segundo plano 3x-2y+z-4=0 obtemos o vetor normal
\mathbf{n}_2=(3,-2,1).
Expliquei: esses vetores são formados pelos coeficientes de x, y e z nas equações dos planos.

Passo 4

Agora precisamos do vetor diretor da reta r. A regra é: o vetor diretor \mathbf{v} da interseção é o produto vetorial (cross product) entre \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2,
\mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.
Lembre que o produto vetorial de \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) por \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) é dado pelo determinante da matriz com as bases \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} na primeira linha e os componentes na segunda e terceira linhas. Vou calcular explicitamente.

Passo 5

Calculemos \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 passo a passo:
\mathbf{v}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & -1 & 3 \\\\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}.
Expandindo o determinante:
\mathbf{v}=\mathbf{i}((-1)\cdot 1 - 3\cdot(-2)) - \mathbf{j}(1\cdot 1 - 3\cdot 3) + \mathbf{k}(1\cdot(-2) - (-1)\cdot 3).
Agora os cálculos interiores:
(-1)\cdot 1 - 3\cdot(-2) = -1 + 6 = 5,
1\cdot 1 - 3\cdot 3 = 1 - 9 = -8,
1\cdot(-2) - (-1)\cdot 3 = -2 + 3 = 1.
Portanto
\mathbf{v}=(5,8,1).
Observação: no termo com \mathbf{j} havia um sinal negativo da fórmula, por isso o componente fica +8.

Passo 6

Agora precisamos do ângulo entre a reta (direção \mathbf{v}) e o eixo z. O eixo das cotas tem direção do vetor unitário
\mathbf{k}=(0,0,1).
Para achar o ângulo \theta entre dois vetores usamos a fórmula com o produto escalar (dot product):
\cos\theta=\frac{|\mathbf{v}\cdot\mathbf{k}|}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{k}\|}.
Aqui \mathbf{v}\cdot\mathbf{k} é o produto escalar (soma dos produtos das componentes correspondentes) e \|\mathbf{v}\| é a norma (comprimento) do vetor, dada por \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}. O valor absoluto garante que obtemos o ângulo agudo entre 0 e \tfrac{\pi}{2}, que é o que normalmente se busca para “o ângulo que a reta forma com o eixo”.

Passo 7

Calculemos os termos da fórmula:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{k}=5\cdot 0 + 8\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1.
A norma de \mathbf{v} é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{5^2+8^2+1^2}=\sqrt{25+64+1}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.
A norma de \mathbf{k} é
\|\mathbf{k}\|=1.
Portanto
\cos\theta=\frac{1}{3\sqrt{10}}.
Isto nos dá a expressão exata do ângulo:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{3\sqrt{10}}\right).
Se quisermos uma aproximação em graus, calculando numericamente, obtemos aproximadamente
\theta\approx 84,0^\circ.

Resposta

\displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{3\sqrt{10}}\right)\approx 84,0^\circ

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