Determine o ângulo que a reta r:\left\{\begin{array}{r}x-y+3 z-6=0 \\\\ 3 x-2 y+z-4=0\end{array}\right. forma com o eixo das cotas.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o ângulo que a reta r\) forma com o eixo das cotas (eixo \(z\)). As informações dadas são as equações das duas superfícies que definem a reta:
\[\begin{cases} x - y + 3z - 6 = 0,\\[4pt] 3x - 2y + z - 4 = 0. \end{cases}
Esses dois planos se intersectam em uma reta r\]. O objetivo final é encontrar o ângulo entre essa reta \(r e o eixo z.]
Passo 2
Primeiro conceito que precisamos: a direção de uma reta definida como interseção de dois planos é perpendicular aos vetores normais desses planos. Se uma equação de plano tem forma ax+by+cz+d=0, então o vetor normal do plano é (a,b,c). Vou extrair os vetores normais dos dois planos dados.
Passo 3
Do primeiro plano x-y+3z-6=0 obtemos o vetor normal
\mathbf{n}_1=(1,-1,3).
Do segundo plano 3x-2y+z-4=0 obtemos o vetor normal
\mathbf{n}_2=(3,-2,1).
Expliquei: esses vetores são formados pelos coeficientes de x, y e z nas equações dos planos.
Passo 4
Agora precisamos do vetor diretor da reta r. A regra é: o vetor diretor \mathbf{v} da interseção é o produto vetorial (cross product) entre \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2,
\mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.
Lembre que o produto vetorial de \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) por \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) é dado pelo determinante da matriz com as bases \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} na primeira linha e os componentes na segunda e terceira linhas. Vou calcular explicitamente.
Passo 5
Calculemos \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 passo a passo:
Aqui \mathbf{v}\cdot\mathbf{k} é o produto escalar (soma dos produtos das componentes correspondentes) e \|\mathbf{v}\| é a norma (comprimento) do vetor, dada por \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}. O valor absoluto garante que obtemos o ângulo agudo entre 0 e \tfrac{\pi}{2}, que é o que normalmente se busca para “o ângulo que a reta forma com o eixo”.