Determine o ângulo entre o plano de equação
e o plano que é perpendicular ao vetor
e passa pelo ponto
Passo 1
O enunciado pede para determinar o ângulo entre dois planos:
- Primeiro plano dado pela equação
. - Segundo plano é descrito como "perpendicular ao vetor
" e passa pelo ponto .
Informações relevantes que temos (tiradas diretamente do enunciado):
Passo 2
Entender o que se pede e qual relação usar (aqui vou explicar a ideia chave que você precisa para a prova, sem pular etapas):
-
O “ângulo entre dois planos” é definido como o ângulo agudo entre as respectivas normais desses planos. Isso significa que, para encontrar o ângulo entre os planos, basta encontrar os vetores normais
e e calcular o ângulo entre esses vetores. -
A fórmula que relaciona dois vetores
e com o ângulo entre eles é a fórmula do produto escalar:
Aqui:
-
é o produto escalar (soma dos produtos das componentes), -
é o comprimento (norma) do vetor , -
é o ângulo entre e . -
Desse modo, isolando
temos
Para obter o ângulo agudo entre planos, usamos o valor absoluto do numerador (ou seja, o valor absoluto do produto escalar), garantindo
:
Passo 3
Identificar os vetores normais dos planos (passo mecânico que você faz sempre que vê uma equação de plano ou a expressão “plano perpendicular a um vetor”):
- Da equação do primeiro plano
, os coeficientes das variáveis são as componentes do vetor normal. Logo
- O enunciado diz que o segundo plano é perpendicular ao vetor
. Isso significa que esse vetor é normal ao segundo plano, ou seja
(Observação: o ponto dado
serve para determinar a posição do plano, mas não influencia o ângulo entre planos — só as direções dos normais importam.)
Passo 4
Calcular o produto escalar
passo a passo:
Calcule termo a termo:
Somando:
Tomamos o valor absoluto para a fórmula do ângulo entre planos:
Passo 5
Calcular as normas
e
detalhadamente:
- Para
,
- Para
,
Passo 6
Usar a fórmula do Passo 2 com os valores calculados:
Multiplicando o denominador:
Portanto
Passo 7
Determinar o ângulo
:
Se você quiser uma aproximação em graus (útil na prova quando pedem valor numérico),
Vai dar tudo certo — a ideia principal é reconhecer normais e usar produto escalar.