Determine o ângulo entre o plano de equação -x-y-z+7=0 e o plano que é perpendicular ao vetor (2,-2,2) e passa pelo ponto \left(2,2, \frac{1}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o ângulo entre dois planos:
  • Primeiro plano dado pela equação -x-y-z+7=0.
  • Segundo plano é descrito como "perpendicular ao vetor (2,-2,2)" e passa pelo ponto \left(2,2,\tfrac{1}{2}\right).
Informações relevantes que temos (tiradas diretamente do enunciado):
\text{Plano 1: } -x-y-z+7=0.
\text{Vetor fornecido: } (2,-2,2).
\text{Ponto do segundo plano: } \left(2,2,\tfrac{1}{2}\right).

Passo 2

Entender o que se pede e qual relação usar (aqui vou explicar a ideia chave que você precisa para a prova, sem pular etapas):
  • O “ângulo entre dois planos” é definido como o ângulo agudo entre as respectivas normais desses planos. Isso significa que, para encontrar o ângulo entre os planos, basta encontrar os vetores normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 e calcular o ângulo entre esses vetores.
  • A fórmula que relaciona dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} com o ângulo \theta entre eles é a fórmula do produto escalar:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos\theta.
Aqui:
  • \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar (soma dos produtos das componentes),
  • \|\mathbf{a}\| é o comprimento (norma) do vetor \mathbf{a},
  • \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}.
  • Desse modo, isolando \cos\theta temos
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|}.
Para obter o ângulo agudo entre planos, usamos o valor absoluto do numerador (ou seja, o valor absoluto do produto escalar), garantindo 0^\circ\le\theta\le90^\circ:
\cos\theta=\frac{|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2|}{\|\mathbf{n}_1\|\,\|\mathbf{n}_2\|}.

Passo 3

Identificar os vetores normais dos planos (passo mecânico que você faz sempre que vê uma equação de plano ou a expressão “plano perpendicular a um vetor”):
  • Da equação do primeiro plano -x-y-z+7=0, os coeficientes das variáveis são as componentes do vetor normal. Logo
\mathbf{n}_1 = (-1,-1,-1).
  • O enunciado diz que o segundo plano é perpendicular ao vetor (2,-2,2). Isso significa que esse vetor é normal ao segundo plano, ou seja
\mathbf{n}_2 = (2,-2,2).
(Observação: o ponto dado \left(2,2,\tfrac{1}{2}\right) serve para determinar a posição do plano, mas não influencia o ângulo entre planos — só as direções dos normais importam.)

Passo 4

Calcular o produto escalar \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 passo a passo:
\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 = (-1)\cdot 2 + (-1)\cdot (-2) + (-1)\cdot 2.
Calcule termo a termo:
(-1)\cdot 2 = -2,\qquad (-1)\cdot(-2)=+2,\qquad (-1)\cdot 2 = -2.
Somando:
\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 = -2 + 2 - 2 = -2.
Tomamos o valor absoluto para a fórmula do ângulo entre planos:
|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2| = 2.

Passo 5

Calcular as normas \|\mathbf{n}_1\| e \|\mathbf{n}_2\| detalhadamente:
  • Para \mathbf{n}_1 = (-1,-1,-1),
\|\mathbf{n}_1\| = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.
  • Para \mathbf{n}_2 = (2,-2,2),
\|\mathbf{n}_2\| = \sqrt{2^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.

Passo 6

Usar a fórmula do Passo 2 com os valores calculados:
\cos\theta=\frac{|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2|}{\|\mathbf{n}_1\|\,\|\mathbf{n}_2\|} = \frac{2}{\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}}.
Multiplicando o denominador:
\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3} = 2(\sqrt{3}\sqrt{3}) = 2\cdot 3 = 6.
Portanto
\cos\theta = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.

Passo 7

Determinar o ângulo \theta:
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{3}\right).
Se você quiser uma aproximação em graus (útil na prova quando pedem valor numérico),
\theta \approx 70{,}53^\circ.
Vai dar tudo certo — a ideia principal é reconhecer normais e usar produto escalar.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx70{,}53^\circ

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