Determine o ángulo entre as retas r: x-12=y+3-1=z1 es s: x1=y-12=z+13.

Passo 1

O enunciado fornece duas retas em forma simétrica no espaço:
r: x-12=y+3-1=z1
s: x1=y-12=z+13
e pede o ângulo entre elas. O conteúdo usado será produto escalar em R^3, pois o ângulo theta entre duas retas é dado pelo ângulo entre seus vetores diretores.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de cada reta a partir dos denominadores da forma simétrica:
v1 = (2,,-1,,1)
v2 = (1,,2,,3)
Aqui, v1 é diretor de r e v2 é diretor de s.

Passo 3

Calculamos o produto escalar e as normas dos vetores:
v1 cdot v2 = 2cdot1 + (-1)cdot2 + 1cdot3 = 2 - 2 + 3 = 3,
|v1| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6,
|v2| = raiz1^2 + 2^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14

Passo 4

Usamos a definição de cosseno do ângulo entre vetores:
costheta = l|v1 cdot v2r||v1|;|v2| = 3raiz6,raiz14 = 3raiz84 = raiz2114

Passo 5

Finalmente, o ângulo theta é
theta = arccos!gl(raiz2114gr)
Em graus, aproximadamente
theta approx 71^circ

Resposta

theta = arccos!l(tfracraiz2114r)approx 71^circ

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