Determine o ângulo entre as retas de r e s, em que r possui equações paramétricas x=-2+4 t, y=5-7 t e s possui equação 4 x+y-2=0.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas no plano:
a reta r em forma paramétrica
x=-2+4t, y=5-7t
e a reta s na forma geral
4x+y-2=0
O objetivo é achar o ângulo phi entre essas retas. Para isso, vamos extrair vetores diretores de cada reta e usar a fórmula do ângulo entre vetores no plano:
cos(phi)=lvert ucdotvrvert|u|;|v|

Passo 2

Da reta r vemos que o vetor diretor é
u=(4,,-7)
Na reta s, o vetor normal é (4,1), logo um vetor diretor é
v=(1,,-4),
pois v é perpendicular a (4,1).

Passo 3

Aplicamos a fórmula
cos(phi)=lvert ucdotvrvert|u|;|v|
Precisamos do produto escalar ucdotv e das normas |u| e |v|.

Passo 4

Calculamos cada quantia:
ucdotv=4cdot1+(-7)cdot(-4)=4+28=32,
|u|=raiz4^2+(-7)^2=raiz16+49=raiz65,
|v|=raiz1^2+(-4)^2=raiz1+16=raiz17
Logo
cos(phi) =32raiz65,raiz17

Passo 5

Para obter o ângulo em graus, aplicamos arccos:
phi =arccos!l(32raiz65,raiz17r) approx15,7^circ

Resposta

phi=arccos!l(32raiz65,raiz17r)approx15,7^circ

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