Sejam os pontos de coordenadas A=(4,2) e B=(5,1). Determine uma equação geral e uma equação paramétrica para a reta que contém os pontos A e B.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos A=(4,2) e B=(5,1) e pede:
– uma equação geral (forma Ax+By+C=0) da reta que passa por esses pontos;
– uma equação paramétrica (forma r(t)=r0+tv) dessa mesma reta.
Para isso, vamos usar conceitos de vetor diretor e de coeficiente angular.

Passo 2

Calcular o vetor diretor v da reta, que é dado por
v = AB = B - A = (5-4,;1-2) = (1,-1)
Esse vetor nos diz a “direção” da reta.

Passo 3

Obter a equação paramétrica usando um ponto-base (por exemplo A) e o vetor diretor:
r(t) = (x(t),y(t)) = (4,2) + t,(1,-1)
Separando em coordenadas,
x(t) = 4 + t, y(t) = 2 - t, tinR

Passo 4

Encontrar a equação geral Ax+By+C=0. Uma forma prática é usar o coeficiente angular m ou um vetor normal nperpv.
Como v=(1,-1), um vetor normal é n=(1,1) (pois (1,-1)cdot(1,1)=0).
A equação na forma ponto-normal é
ncdotl((x,y)-Ar)=0 Longrightarrow (1,1)cdotl((x-4),(y-2)r)=0
que dá
1,(x-4)+1,(y-2)=0 Longrightarrow x+y-6=0

Resposta

Equação geral:
x + y - 6 = 0
Equação paramétrica:
x(t) = 4 + t, y(t) = 2 - t, tinR

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