Determine o ângulo entre u e v e a projeção de u na direção de v :
u=(2,-3) e v=(3,2)

Passo 1

O enunciado pede para achar o ângulo entre os vetores u=(2,-3) e v=(3,2) e também a projeção de u na direção de v. Vamos usar produto escalar, norma de vetores e a fórmula de projeção ortogonal.

Passo 2

A teoria envolvida é: o produto escalar de u e v é dado por ucdot v=sumi ui vi, a norma de um vetor w é |w|=raizwcdot w, o ângulo theta satisfaz costheta=ucdot v|u|,|v| e a projeção de u em v é projv(u)=ucdot v|v|^2,v

Passo 3

Vamos calcular primeiro o produto escalar e as normas:
ucdot v=2cdot3+(-3)cdot2=6-6=0
|u|=raiz2^2+(-3)^2=raiz4+9=raiz13, |v|=raiz3^2+2^2=raiz9+4=raiz13

Passo 4

O cosseno do ângulo é ucdot v|u|,|v|=0raiz13,raiz13=0. Logo
theta=arccos(0)=pi2 (ou 90°).

Passo 5

Para a projeção, usamos
projv(u)=ucdot v|v|^2,v=0(raiz13)^2,(3,2)=0,(3,2)=(0,0)

Resposta

Ângulo entre u e v: pi2 (90°). Projeção de u na direção de v: (0,0).

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