Para as matrizes das TLs R^n R^n, com n de acordo com a dimensão das matrizes, expressas na base canônica dadas abaixo, determine, uma base de autovetores:
ccc3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar uma base de autovetores da matriz
A=3 & 0 & -4[6pt]0 & 3 & 5[6pt]0 & 0 & -1
expresso na base canônica de R^3. O conteúdo é espaço próprio (eigenspace) e vamos precisar calcular autovalores e resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Como A é triangular, seus autovalores aparecem na diagonal. Logo,
lambda1=3, lambda2=3, lambda3=-1
Precisamos agora encontrar as multiplicidades geométricas e as direções próprias.

Passo 3

Para lambda=3, resolvemos
(A-3I)v=0 & 0 & -4[4pt]0 & 0 & 5[4pt]0 & 0 & -4x[2pt]y[2pt]z=0
Isso dá as equações:
-4z=0, 5z=0, -4z=0
logo z=0 e x,y são livres. Assim o espaço próprio é
com base, por exemplo, os vetores (x,y,0):x,yin Rn e (1,0,0).

Passo 4

Para lambda=-1, resolvemos
(A+I)v=4 & 0 & -4[4pt]0 & 4 & 5[4pt]0 & 0 & 0x[2pt]y[2pt]z=0
As equações são
4x-4z=0 Rightarrow x=z, 4y+5z=0 Rightarrow y=-tfrac54z
Tomando z=4 para evitar frações, um autovetor é (4,-5,4).

Passo 5

Juntando tudo, uma base de autovetores de A é dada por:
(1,0,0),,(0,1,0),,(4,-5,4)

Resposta

Uma base de autovetores é
{(1,0,0),,(0,1,0),,(4,-5,4)}.

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