Para as matrizes das
, com
de acordo com a dimensão das matrizes, expressas na base canônica dadas abaixo, determine, uma base de autovetores:
Passo 1
O enunciado pede para a gente encontrar uma base de autovetores da matriz
expresso na base canônica de
R^3 . O conteúdo é espaço próprio (eigenspace) e vamos precisar calcular autovalores e resolver
(A-lambda I)v=0 .
Passo 2
Como
A é triangular, seus autovalores aparecem na diagonal. Logo,
Precisamos agora encontrar as multiplicidades geométricas e as direções próprias.
Passo 3
Para
lambda=3 , resolvemos
Isso dá as equações:
logo
z=0 e
x,y são livres. Assim o espaço próprio é
com base, por exemplo, os vetores
(x,y,0):x,yin Rn e
(1,0,0) .
Passo 4
Para
lambda=-1 , resolvemos
As equações são
Tomando
z=4 para evitar frações, um autovetor é
(4,-5,4) .
Passo 5
Juntando tudo, uma base de autovetores de
A é dada por:
Resposta
Uma base de autovetores é
{(1,0,0),,(0,1,0),,(4,-5,4)}.
{(1,0,0),,(0,1,0),,(4,-5,4)}.