Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
. Justifique as suas respostas.
Matrizes triangulares inferiores
Matrizes triangulares inferiores
Passo 1
Estamos em
e queremos ver se o conjunto das matrizes triangulares inferiores é subespaço vetorial. Para isso vamos usar o critério padrão: mostrar que o zero está no conjunto, que ele é fechado sob adição e fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Denotemos por
o conjunto de todas as matrizes
tais que
sempre que
. Primeiro, a matriz nula
(com todos os elementos iguais a zero) claramente satisfaz
para todo
, logo
. Em seguida, tomadas duas matrizes
e
em
, temos para
pois
Passo 3
Agora, seja
em
e
um escalar. Para
Passo 4
Portanto
, garantindo fechamento por multiplicação escalar.
Resposta
O conjunto das matrizes triangulares inferiores em
satisfaz todos os critérios de subespaço (contém o zero, fechado sob adição e sob multiplicação escalar). Logo, é de fato um subespaço vetorial de
.