Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de mathcalM(3,3). Justifique as suas respostas.
Matrizes triangulares inferiores 3 times 3

Passo 1

Estamos em M(3,3) e queremos ver se o conjunto das matrizes triangulares inferiores é subespaço vetorial. Para isso vamos usar o critério padrão: mostrar que o zero está no conjunto, que ele é fechado sob adição e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Denotemos por S o conjunto de todas as matrizes 3times3 tais que aij=0 sempre que i. Primeiro, a matriz nula 0 (com todos os elementos iguais a zero) claramente satisfaz 0ij=0 para todo i, logo 0in S. Em seguida, tomadas duas matrizes A=(aij) e B=(bij) em S, temos para i
(A+B)ij=aij+bij=0+0=0,
pois aij=bij=0. Assim A+Bin S, mostrando a fechamento por adição.

Passo 3

Agora, seja A=(aij) em S e lambda um escalar. Para i
(lambda A)ij=lambda,aij=lambdacdot0=0

Passo 4

Portanto lambda Ain S, garantindo fechamento por multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto das matrizes triangulares inferiores em M(3,3) satisfaz todos os critérios de subespaço (contém o zero, fechado sob adição e sob multiplicação escalar). Logo, é de fato um subespaço vetorial de M(3,3).

Exercícios relacionados