Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de mathcalM(3,3). Justifique as suas respostas.
Matrizes diagonais 3 times 3

Passo 1

Temos o conjunto de todas as matrizes diagonais 3×3 como subconjunto de M(3,3). Para testar se é subespaço vetorial, vamos usar o critério padrão: 1) conter a matriz zero, 2) ser fechado sob soma e 3) ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

A matriz zero em M(3,3) é
O = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Como todos os elementos fora da diagonal principal são zero, O é diagonal e portanto pertence ao conjunto.

Passo 3

Sejam
A = a & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c, B = d & 0 & 0 0 & e & 0 0 & 0 & f
duas matrizes diagonais e lambda um escalar. Então
$$
A + B = A + B = a+d & 0 & 0 0 & b+e & 0 0 & 0 & c+f lambda A = lambda a & 0 & 0 0 & lambda b & 0 0 & 0 & lambda c é \lambda A = $$
é também diagonal. Logo o conjunto é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 4

Como o conjunto contém a matriz zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que ele é um subespaço vetorial de M(3,3).

Resposta

O conjunto de matrizes diagonais 3×3 é um subespaço vetorial de M(3,3).

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