Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de . Justifique as suas respostas.
Matrizes diagonais
Passo 1
Temos o conjunto de todas as matrizes diagonais 3×3 como subconjunto de . Para testar se é subespaço vetorial, vamos usar o critério padrão: 1) conter a matriz zero, 2) ser fechado sob soma e 3) ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
A matriz zero em é
Como todos os elementos fora da diagonal principal são zero, O é diagonal e portanto pertence ao conjunto.
Passo 3
Sejam
A = a & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c, B = d & 0 & 0 0 & e & 0 0 & 0 & f
duas matrizes diagonais e lambda um escalar. Então
$$
A + B = A + B = a+d & 0 & 0 0 & b+e & 0 0 & 0 & c+f lambda A = lambda a & 0 & 0 0 & lambda b & 0 0 & 0 & lambda c é \lambda A = $$
é também diagonal. Logo o conjunto é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 4
Como o conjunto contém a matriz zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que ele é um subespaço vetorial de M(3,3).
Resposta
O conjunto de matrizes diagonais 3×3 é um subespaço vetorial de M(3,3).