Determine u cdot v e o ângulo entre os vetores nos casos abaixo:
(a) v=(5,-2) e u=(3,4)

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^2, u=(3,4) e v=(5,-2), e pede (i) o produto escalar ucdotv e (ii) o ângulo theta entre eles. Vamos usar a definição de produto escalar e a relação entre produto escalar e ângulo:
ucdotv=|u|,|v|costheta.

Passo 2

Para achar ucdotv usamos
ucdotv=u1v1 + u2v2
Aqui u1=3, u2=4, v1=5, v2=-2. Logo,
ucdotv = 3cdot5 + 4cdot(-2) = 15 - 8 = 7

Passo 3

Agora precisamos das normas:
|u| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = 5,
|v| = raiz5^2 + (-2)^2 = raiz25 + 4 = raiz29

Passo 4

Usando a relação
costheta = ucdotv|u|,|v|
temos
costheta = 75raiz29
Portanto
theta = arccos!gl(75raiz29gr)
Em valor numérico, 75raiz29approx0,2599 e
theta approx 75,0^circ

Resposta

ucdotv=7
theta = arccos!l(7/(5raiz29)r)approx75,0^circ

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