(a) Determine um vetor não-nulo ortogonal ao plano que passa por P(3,1,1), Q(5,2,4) e R(8,5,3) e calcule a área do triângulo PQR.

Passo 1

Temos três pontos em R^3:
P=(3,1,1), Q=(5,2,4), R=(8,5,3)
O objetivo é 1) encontrar um vetor não-nulo ortogonal ao plano que passa por esses pontos, usando produto vetorial, e 2) calcular a área do triângulo PQR, que é metade do módulo desse produto vetorial.

Passo 2

Construímos os vetores que saem de P em direção a Q e a R:
PQ=Q-P=(5-3,;2-1,;4-1)=(2,1,3),
PR=R-P=(8-3,;5-1,;3-1)=(5,4,2)

Passo 3

O vetor ortogonal ao plano é dado pelo produto vetorial
n=PQtimesPR = i & j & k 2 & 1 & 3 5 & 4 & 2 =(-10),i-(-11),j+3,k =( -10,;11,;3)

Passo 4

A área do triângulo PQR é metade do módulo de n:
|n|=raiz(-10)^2+11^2+3^2 =raiz100+121+9 =raiz230,
Área=12|n| =raiz2302 Á

Resposta

Um vetor não-nulo ortogonal ao plano é lang<= -10,11,3rang<=.
A área do triângulo PQR é raiz2302.

Exercícios relacionados