Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma expressälo exata e depois aproxime o valor até a precisão de um grau.)
20. a=8 i-j+4 k,
b=4 j+2 k

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os vetores
a=8i-j+4k e b=4j+2k.
O conteúdo envolve produto escalar e normas de vetores para usar
costheta=acdotb|a||b|

Passo 2

Calcular o produto escalar acdotb. Como b não tem componente em i,
acdotb =8cdot0+(-1)cdot4+4cdot2 =-4+8 =4

Passo 3

Calcular as normas |a| e |b|, lembrando que |,(vx,vy,vz)|=raizvx^2+vy^2+vz^2:
|a| =raiz8^2+(-1)^2+4^2 =raiz64+1+16 =raiz81 =9,
|b| =raiz0^2+4^2+2^2 =raiz16+4 =raiz20 =2raiz5

Passo 4

Aplicar a fórmula do cosseno do ângulo:
costheta =acdotb|a||b| =49cdot2raiz5 =29raiz5
Essa é a expressão exata.

Passo 5

Para aproximar theta, primeiro calculamos numericamente
costhetaapprox29cdot2,23607 approx0,09938,
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theta=arccos(0,09938)approx84,3^circ
Arredondando ao grau mais próximo, thetaapprox84^circ.

Resposta

theta=arccosl(tfrac29raiz5r)approx84^circ

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