Determine o ângulo entre os vetores: 
  e 
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois vetores: 
  e 
 . Aqui, a gente vai usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o produto escalar e a magnitude dos vetores, para achar esse ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o ângulo 
  entre dois vetores, a gente usa a fórmula do produto escalar:
Nessa fórmula:
- 
é o produto escalar dos vetores.  - 
e são as magnitudes (ou comprimentos) dos vetores.  - 
é o ângulo entre eles.  
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar 
 . Para dois vetores 
  e 
 , o produto escalar é:
Aplicando aos nossos vetores:
Passo 4
Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores, que é basicamente o comprimento de cada vetor. A magnitude de um vetor 
  é dada por:
Para 
 :
Para 
 :
Passo 5
Agora que temos o produto escalar e as magnitudes, vamos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo:
Passo 6
Para achar o ângulo 
 , precisamos calcular o arco cosseno de 
 . Sabemos que:
Isso resulta em:
Resposta
O ângulo entre os vetores 
  e 
  é de 
 .