Determine o ângulo entre os vetores vec{u} e vec{v} nos seguintes casos:
vec{u}=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}\right) e vec{v}=(2,3,4);

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os vetores
\vec u=\bigl(\tfrac12,\tfrac13,\tfrac14\bigr) e \vec v=(2,3,4).
O conteúdo aqui é produto escalar e norma de vetores, e vamos usar a relação
\cos\theta \;=\;\frac{\vec u\cdot \vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}.

Passo 2

Calcular o produto escalar:
\vec u\cdot \vec v = \tfrac12\cdot 2 \;+\;\tfrac13\cdot 3 \;+\;\tfrac14\cdot 4 = 1 + 1 + 1 = 3.

Passo 3

Calcular a norma de \vec u:
\|\vec u\| = \sqrt{\bigl(\tfrac12\bigr)^2 + \bigl(\tfrac13\bigr)^2 + \bigl(\tfrac14\bigr)^2} = \sqrt{\tfrac14 + \tfrac19 + \tfrac1{16}} = \sqrt{\tfrac{36+16+9}{144}} = \frac{\sqrt{61}}{12}.

Passo 4

Calcular a norma de \vec v:
\|\vec v\| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}.

Passo 5

Substituir na fórmula do ângulo e isolar \theta:
\cos\theta = \frac{3}{(\sqrt{61}/12)\,\sqrt{29}} = \frac{36}{\sqrt{61\cdot29}} = \frac{36}{\sqrt{1769}}.
Logo
\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{36}{\sqrt{61\cdot29}}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{36}{\sqrt{61\cdot29}}\bigr)\approx 31{,}0^\circ.

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