Determine o ângulo entre os vetores vec{u} e vec{v} nos seguintes casos:
vec{u}=(3,5,9) e vec{v}=(2,1,1);

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
\vec{u}=(3,5,9) e \vec{v}=(2,1,1).
Queremos o ângulo \theta entre eles, que se obtém usando o produto escalar e as normas via
\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|}.

Passo 2

Calcular o produto escalar
\vec{u}\cdot\vec{v} =3\cdot2 + 5\cdot1 + 9\cdot1 =6 + 5 + 9 =20.

Passo 3

Calcular as normas dos vetores
\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 5^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 25 + 81} = \sqrt{115},
\|\vec{v}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}.

Passo 4

Substituir na fórmula do cosseno e achar \theta:
\cos\theta = \frac{20}{\sqrt{115}\,\sqrt{6}} = \frac{20}{\sqrt{690}}.
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\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{20}{\sqrt{690}}\bigr) \approx 40{,}0^\circ.

Resposta

\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{20}{\sqrt{690}}\bigr)\approx 40{,}0^\circ.

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