Determine o ângulo entre os vetores vec{u} e vec{v} nos seguintes casos:
vec{u}=\left(\pi, 0, \frac{\pi}{2}\right) e vec{v}=(1,1,1);

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os vetores
\vec u = (\pi,0,\tfrac\pi2) e \vec v=(1,1,1).
O conteúdo principal é produto escalar de vetores e norma, pois usamos a fórmula
\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\;\|\vec v\|\cos\theta
para encontrar \theta.

Passo 2

Vamos calcular o produto escalar \vec u\cdot\vec v. Por definição,
\vec u\cdot\vec v = \pi\cdot1 + 0\cdot1 + \frac\pi2\cdot1 = \pi + \frac\pi2 = \frac{3\pi}{2}.

Passo 3

Agora as normas:
\|\vec u\| = \sqrt{\pi^2 + 0^2 + \bigl(\tfrac\pi2\bigr)^2} = \sqrt{\pi^2 + \frac{\pi^2}{4}} = \sqrt{\frac{5\pi^2}{4}} = \frac{\pi}{2}\sqrt{5},
\|\vec v\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.

Passo 4

Substituindo na fórmula do cosseno do ângulo:
\cos\theta = \frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\;\|\vec v\|} = \frac{\tfrac{3\pi}{2}}{\bigl(\tfrac{\pi}{2}\sqrt{5}\bigr)\,\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{5}.
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\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{3}{\sqrt{15}}\bigr).

Resposta

\displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{3}{\sqrt{15}}\bigr),
que equivale aproximadamente a 39,23^\circ.

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