Determine o ângulo entre os vetores vec{u} e vec{v} nos seguintes casos:
vec{u}=(2000000,1000000,7000000) e vec{v}=(1000000,4000000,9000000).

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os vetores \vec u e \vec v em \mathbb R^3. Para isso vamos usar o produto escalar e as normas dos vetores, pois vale a relação
\cos(\theta) = \frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\,,
e então \theta = \operatorname{arccos}(\cos(\theta)).

Passo 2

Calcular o produto escalar
\vec u \cdot \vec v = 2000000\cdot1000000 + 1000000\cdot4000000 + 7000000\cdot9000000 = 2\times10^{12} + 4\times10^{12} + 63\times10^{12} = 69\times10^{12}\,.

Passo 3

Calcular as normas:
\|\vec u\| = \sqrt{2000000^2 + 1000000^2 + 7000000^2} = \sqrt{4\times10^{12} + 1\times10^{12} + 49\times10^{12}} = \sqrt{54\times10^{12}} = \sqrt{54}\times10^6 \approx 7{,}348\times10^6
\|\vec v\| = \sqrt{1000000^2 + 4000000^2 + 9000000^2} = \sqrt{1\times10^{12} + 16\times10^{12} + 81\times10^{12}} = \sqrt{98\times10^{12}} = \sqrt{98}\times10^6 \approx 9{,}899\times10^6

Passo 4

Substituir na fórmula do cosseno:
\cos(\theta) = \frac{69\times10^{12}}{(7{,}348\times10^6)\,(9{,}899\times10^6)} = \frac{69}{7{,}348\times9{,}899} \approx 0{,}9486

Passo 5

Finalmente,
\theta = \operatorname{arccos}(0{,}9486)\approx 18{,}3^\circ

Resposta

O ângulo entre \vec u e \vec v é aproximadamente 18{,}3^\circ.

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