Determine uma antiderivada de
. Não imagine coisas complicadas.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma antiderivada de
. O conteúdo envolvido é antiderivação usando série de potências, pois
não tem primitiva elementar em termos de funções básicas.
Passo 2
Vamos lembrar da série de Taylor de
em torno de zero:
Passo 3
Aqui tomamos
, então
Passo 4
Como a série converge para todo
, podemos integrar termo a termo:
$$\int\sin(z2),dz=\int\sum_{k=0}{\infty}(-1)k\frac{z{4k+2}}{(2k+1)!},dz
=\sum_{k=0}{\infty}(-1)k\frac{1}{(2k+1)!}\int z^{4k+2},dz.$$
Passo 5
A integral de
em relação a
é
. Então:
Resposta
Uma antiderivada de
é