Determine uma antiderivada de f(z)=sen z^2. Não imagine coisas complicadas.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma antiderivada de f(z)=sin(z^2). O conteúdo envolvido é antiderivação usando série de potências, pois sin(z^2) não tem primitiva elementar em termos de funções básicas.

Passo 2

Vamos lembrar da série de Taylor de sin w em torno de zero:
sin w=sumk=0^infty(-1)^kw^2k+1(2k+1)!

Passo 3

Aqui tomamos w=z^2, então
sin(z^2)=sumk=0^infty(-1)^k(z^2)^2k+1(2k+1)!=sumk=0^infty(-1)^kz^4k+2(2k+1)!

Passo 4

Como a série converge para todo z, podemos integrar termo a termo:
$$\int\sin(z2),dz=\int\sum_{k=0}{\infty}(-1)k\frac{z{4k+2}}{(2k+1)!},dz
=\sum_{k=0}{\infty}(-1)k\frac{1}{(2k+1)!}\int z^{4k+2},dz.$$

Passo 5

A integral de z^4k+2 em relação a z é z^4k+3/(4k+3). Então:
integralsin(z^2),dz=sumk=0^infty(-1)^kz^4k+3(2k+1)!,(4k+3)+C

Resposta

Uma antiderivada de sin(z^2) é
F(z)=sumk=0^infty(-1)^kz^4k+3(2k+1)!,(4k+3)+C

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