integral0^pi^2 / 16 1raizz sec ^2 raizz d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
do intervalo de 0 até pi^2/16 de
1raiz zsec^2(raiz z),dz.
O conteúdo principal envolve usar uma substituição
de variável para simplificar a raiz e a derivada interna.

Passo 2

Vamos fazer a substituição
t = raiz z. Assim:
z = t^2 e
dez diferenciando temos
dz = 2t,dt.
Note que quando z=0,
t=0, e quando z=pi^2/16,
t=pi/4.

Passo 3

Substituindo na integral original,
integral0^pi^2/16 1raiz zsec^2(raiz z),dz = integral0^pi/4 1tsec^2(t)cdot(2t),dt = 2integral0^pi/4 sec^2(t),dt
Aqui usamos que o t do denomidador cancela o t
do dz, restando 2sec^2(t).

Passo 4

Agora basta integrar sec^2(t). Sabemos que
a primitiva de sec^2(t) é tan(t). Então
[
2\int_{0}^{\pi/4} \sec^2(t),dt
= 2\bigl[\tan(t)\bigr]_{0}^{\pi/4}
= 2\bigl(\tan(\pi/4)-\tan(0)\bigr)
= 2(1-0)
= 2.

Resposta

2

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