Use o Teorema 5.4.2 para calcular a integral dada. Em cada integral, z^1 / 2 é o ramo primer da função raiz quadrada. Escreva as respostas na forma a+i b.
integralC 3 z^1 / 2 d z, C é o segmento de reta entre z0=1 e z1=9 i.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integralC 3z^1/2,dz, onde z^1/2 é o ramo principal da raiz quadrada, e C é o segmento de reta de z0=1 até z1=9i. Vamos usar o Teorema 5.4.2 (antiderivada em regiões star-contínuas) para resolver.

Passo 2

Primeiro encontramos uma antiderivada F(z) de f(z)=3z^1/2. Sabemos que ddzl(z^3/2r) = tfrac32z^1/2. Logo basta acertar o fator:
F(z) = 2z^3/2,pois então
F'(z) = 2 cdot tfrac32z^1/2 = 3z^1/2

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema:
integralC 3z^1/2,dz = F(z1) - F(z0) = 2l((9i)^3/2 - 1^3/2r)

Passo 4

Falta calcular (9i)^3/2 no ramo principal. Escrevendo 9i = 9e^ipi/2 e extraindo potência:
(9i)^3/2 = 9^3/2e^i(3/2)pi/2 = 27e^i3pi/4 = 27l(raiz22+iraiz22r) = 27raiz22(1+i)

Passo 5

Substituindo em F(z1)-F(z0):
2l(27raiz22(1+i) - 1r) = 27raiz2(1+i) - 2 = -27raiz2 - 2 + i,27raiz2

Resposta

-27\sqrt{2}-2 + i,27\sqrt{2}

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