1 Determine uma aplicação linear T: R^4 R^4 tal que ker(T)=span(1,1,0,0),(0,0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede uma aplicação linear
cujo núcleo seja
Para construir , vamos achar equações lineares que se anulam exatamente nesses vetores.

Passo 2

Note que um vetor (x1,x2,x3,x4) satisfaz
x1 - x2 = 0 e x3 - x4 = 0
se, e somente se, ele está na forma (a,a,b,b)=a(1,1,0,0)+b(0,0,1,1). Portanto, as duas equações
x1 - x2 = 0, x3 - x4 = 0
definem exatamente o subespaço gerado pelos vetores do enunciado.

Passo 3

Basta então definir de modo que suas coordenadas imponham essas igualdades. Por exemplo, definimos
É claro que é linear e
logo é exatamente .

Resposta

T:R^4toR^4, T(x1,x2,x3,x4) = (x1 - x2,;x3 - x4,;0,;0)

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