Exercício 11. Para
uma transformação linear, definimos a norma de operador de
(i) Mostre que de fato podemos escrever max em (4) ao invés de sup.
(ii) Prove que (4) define uma norma no espaço
, isto é, que vale que
-
para qualquer
e
;
-
, para quaisquer
e
;
-
, para quaisquer
.
(iii) Mostre que (4) é equivalente a
Em particular, tem-se
(iv) Mostre que, para
,
(ii) Prove que (4) define uma norma no espaço
(iii) Mostre que (4) é equivalente a
Passo 1
O enunciado define para cada transformação linear
a quantidade
Precisamos mostrar em (i) que esse máximo existe (não só supremo), em (ii) verificar as três propriedades de norma no espaço
, em (iii) provar que
e deduzir a desigualdade
, e em (iv) mostrar a submultiplicatividade
.
Passo 2
Para (i) note que a esfera unitária
é um conjunto compacto em
e a aplicação
é contínua (pois
é linear). Pelo Teorema do Valor Extremo, uma função contínua em um compacto atinge máximo e mínimo, logo aquele supremo é de fato um máximo.
Passo 3
Agora (ii), parte-(1): positividade e nulidade. Como
para todo
, tem-se
. Se
, ent~ao
para todo
com
. Por homogeneidade de
, para qualquer
escrevemos
e obtemos
logo
`e a aplica\c{c}~ao nula. Rec’iproco trivial.
Passo 4
Ainda em (ii), parte-(2) (homogeneidade): para
e
com
,
Tomando m’aximo sobre
d’a
.
Passo 5
Ainda em (ii), parte-(3) (desigualdade triangular): para
e
com
,
Maximizando sobre
obtemos
.
Passo 6
Para (iii) definimos a função
Note que em cada direção
fixa,
independe de
. Logo o máximo de
em
coincide com o máximo de
em
. Assim
Dessa equivalência segue imediatamente que para todo
,
E vale também trivialmente para
.
Passo 7
Finalmente em (iv), para as composições
e todo
temos
Dividindo por
e maximizando (ou usando a forma equivalente de (iii)) obtemos
Resposta
(i) O m’aximo existe pois a esfera unit’aria `e compacta e
`e cont’inua.
(ii) Verificou-se positividade com nulidade apenas para , homogeneidade
e desigualdade triangular
.
(iii) A forma
`e equivalente `a defini\c{c}~ao original, de onde
.
(iv) Para composi\c{c}~oes resulta .
(ii) Verificou-se positividade com nulidade apenas para
(iii) A forma
(iv) Para composi\c{c}~oes resulta