Exercício 11. Para T: R^n R^m uma transformação linear, definimos a norma de operador de T
|T|:=max |T(x)| ; x in R^n com|x|=1
(i) Mostre que de fato podemos escrever max em (4) ao invés de sup.
(ii) Prove que (4) define uma norma no espaço L(R^n ; R^m), isto é, que vale que
  • |T| >= 0 para qualquer T e |T|=0 Long<=ftrightarrow T=0;
  • |lambda T|=|lambda||T|, para quaisquer T in L(R^n ; R^m) e lambda in R;
  • |T+S| <=|T|+|S|, para quaisquer T, S in L(R^n ; R^m).
    (iii) Mostre que (4) é equivalente a
|T|:=max |T(x)||x| ; x in R^n com x neq 0
Em particular, tem-se
|T(x)| <=|T||x| para todo x in R^n
(iv) Mostre que, para T, S in L(R^n ; R^m),
|T S| <=|T||S|

Passo 1

O enunciado define para cada transformação linear T:R^ntoR^m a quantidade
|T|:=maxl|T(x)|;,xinR^n com |x|=1r
Precisamos mostrar em (i) que esse máximo existe (não só supremo), em (ii) verificar as três propriedades de norma no espaço L(R^n;R^m), em (iii) provar que
|T|=maxl|T(x)||x|;,xneq0r
e deduzir a desigualdade |T(x)|<=|T|,|x|, e em (iv) mostrar a submultiplicatividade |TS|<=|T||S|.

Passo 2

Para (i) note que a esfera unitária
S^n-1=xinR^n:|x|=1
é um conjunto compacto em R^n e a aplicação xmapsto|T(x)| é contínua (pois T é linear). Pelo Teorema do Valor Extremo, uma função contínua em um compacto atinge máximo e mínimo, logo aquele supremo é de fato um máximo.

Passo 3

Agora (ii), parte-(1): positividade e nulidade. Como |T(x)|>=0 para todo x, tem-se |T|>=0. Se |T|=0, ent~ao |T(x)|=0 para todo x com |x|=1. Por homogeneidade de T, para qualquer yneq0 escrevemos y=|y|,(y/|y|) e obtemos
T(y)=|y|,Tl(y/|y|r)=0,
logo T `e a aplica\c{c}~ao nula. Rec’iproco trivial.

Passo 4

Ainda em (ii), parte-(2) (homogeneidade): para lambdainR e x com |x|=1,
|(lambda T)(x)|=|lambda|,|T(x)|<=|lambda|,|T|
Tomando m’aximo sobre |x|=1 d’a |lambda T|=|lambda|,|T|.

Passo 5

Ainda em (ii), parte-(3) (desigualdade triangular): para T,S e x com |x|=1,
|(T+S)(x)|<=|T(x)|+|S(x)|<=|T|+|S|
Maximizando sobre |x|=1 obtemos |T+S|<=|T|+|S|.

Passo 6

Para (iii) definimos a função
f(x)=|T(x)||x|, xneq0
Note que em cada direção u=x/|x| fixa, f(x)=|T(u)| independe de |x|. Logo o máximo de f em R^nsetminus0 coincide com o máximo de |T(u)| em u:|u|=1. Assim
maxlf(x);,xneq0r =maxl|T(u)|;,|u|=1r =|T|
Dessa equivalência segue imediatamente que para todo xneq0,
|T(x)||x|<=|T| Longrightarrow |T(x)|<=|T|,|x|
E vale também trivialmente para x=0.

Passo 7

Finalmente em (iv), para as composições TS:R^ntoR^p e todo xneq0 temos
|TS(x)|<=|T|,|S(x)|<=|T|,|S|;|x|
Dividindo por |x| e maximizando (ou usando a forma equivalente de (iii)) obtemos
|TS|<=|T|;|S|

Resposta

(i) O m’aximo existe pois a esfera unit’aria `e compacta e xmapsto|T(x)| `e cont’inua.
(ii) Verificou-se positividade com nulidade apenas para T=0, homogeneidade |lambda T|=|lambda||T| e desigualdade triangular |T+S|<=|T|+|S|.
(iii) A forma
|T|=max|T(x)|/|x|;xneq0 `e equivalente `a defini\c{c}~ao original, de onde |T(x)|<=|T|,|x|.
(iv) Para composi\c{c}~oes resulta |TS|<=|T||S|.

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